Geometry & Recognition

접지된 도체구 주변에 쌍극자 모멘트가 $\vec{p}$인 점쌍극자가 놓여있다. 도체구에 유도되는 알짜 전하는?

풀이: 쌍극자의 방향에 따라 도체구에 유도되는 전하분포가 달라질 것으로 예상할 수 있다. 도체구의 반지름이 $a$이고, 구 중심에서 $\vec{d}$만큼 떨어진 위치에 쌍극자가 있는 경우를 생각하자. 이 상황은 Green's reciprocity theorem을 이용하면 쉽게 해결할 수 있다. 우선 전하분포와 전위를 알 수 있는 간단한 경우를 고려하면, 접지가 안된 도체구를 전하 $q$로 대전시킨 경우다. 이 전하분포가 만드는 전위는 도체구 밖에서 점전하의 전위와 같고, 내부에서는 일정한 값 $V_1 (a) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 a}$로 주어진다. 그리고 점쌍극자의 전하분포가

$$ \rho_\text{dipole} (\vec{r}) = \lim_{\substack{h\to 0\\qh=const=p}} q \left( \delta (\vec{r}-\vec{d}) - \delta (\vec{r}- \vec{d}+ h \hat{p})\right) $$

$$ =\lim_{\substack{h\to 0\\qh=const=p}}  -qh\hat{p} \cdot \nabla \delta(\vec{r}-\vec{d}) $$

$$=-\vec{p} \cdot \nabla \delta (\vec{r} - \vec{d}) $$로 표현되고, 우리가 구하려는 구성 2에서 도체구는 접지되어 있으므로 

$$ \int\rho_1 V_2 d^3x = 0$$ 그리고

$$ \int \rho_2 V_1 d^3x = \int_\text{sphere} \rho_2 V_1 d^3x + \int_\text{dipole} \rho_2 V_1 d^3x$$

$$ = V_1(a) \int_\text{sphere} \rho_2 d^3x + \int  \left(-\vec{p} \cdot \nabla \delta(\vec{r}-\vec{d} ) \right) V_1 d^3x $$

$$= V_1(a) Q_\text{sphere} + \int (\vec{p} \cdot \nabla V_1 ) \delta (\vec{r} - \vec{d}) d^3x$$

$$= V_1(a) Q _\text{sphere} - \vec{p}\cdot \vec{d} \frac{q}{4\pi\epsilon_0 d^3}$$

$$\to ~~ Q_\text{sphere} = \vec{p} \cdot\vec{d} \frac{a}{d^3}$$

균일한 전하밀도 $\rho>0$을 가지는 전하분포가 있다. 이 분포의 한 지점에서 전기장이 $\vec{E}_c$ 이고, 전위가 $V_c$ 다. 이제 이 지점을 중심으로 구형 영역 내부의 전하를 제거한다. 그러면 이 구형 영역 중심에서의 전기장과 전위는 어떻게 변할까?

• 전기장 세기: 감소한다, 그대로, 커진다.
• 전기장 방향: 변한다, 그래로
• 전위: 감소한다, 그대로, 증가한다.

평행판 축전기가 있다. 두 극판 중심평면상에 있는 외부 한 지점에서 전기장은?

풀이: 

중앙평면에서는 대칭성에 의해서 전기장은  $y$ 성분만 존재한다. 극판전하밀도가 일정할 때,

$$ E_y = - 2 \times \frac{1}{4\pi \epsilon_0 } \int_\text{upper} \frac{\sigma dA \sin \theta }{r^2} $$인데 $dA \sin \theta$는 P에서 본 미소면적 $dA$의 정사영이므로 $dA\sin \theta /r^2 $은 P에서 본 $dA$의 입체각에 해당한다(정사영은 코사인을 쓰는 것이 좀 더 직관적인데 이렇게 하려면 각도를 극판에 수직한 방향에 대해서 정의하면 된다). 따라서

$$ E_y = -\frac{\sigma}{2\pi \epsilon_0 } \Omega$$

로 쓸 수 있다. $\Omega$는 P에서 본 위쪽 극판의 입체각이다. 극판에서 멀리 떨어진 지점일 경우(P에서  두 극판 중심까지 거리가 $R$) 

$$ \Omega \approx  \frac{A\sin \theta_0 }{R^2},~~~~\tan \theta_0 =\frac{d/2}{R}\approx \sin \theta_0$$이므로

$$ E_y \approx - \frac{\sigma A d}{4\pi \epsilon_0 R^3}= -\frac{p}{4\pi\epsilon_0 R^3}$$여기서 극판 전하에 의한 전기쌍극자 모멘트 $p$는 각 극판을 점전하로 본 근사식 $p\approx \sigma A d$을 썻다. 이 결과는 극판에서 먼 지점에서는 두 반대 부호의 극판이 만드는 전기쌍극자에 의한 전기장으로 근사됨을 보여준다.