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  1. 2017.07.02 Integral with branch cut-005
  2. 2017.06.29 Integral with branch cut-004
  3. 2017.06.28 Integral with branch cut-003
  4. 2017.06.28 Integral with branch cut-002
  5. 2017.06.27 Integral with branch cut-001

Integral with branch cut-005

Mathematics 2017. 7. 2. 16:01

을 그림과 같은 경로에 대해서 적분을 한다. f(z)는 z=0, 1이 branch point이므로 그림과 같이 branch cut을 선택한다. 

C1 경로에 대해서 

C3 경로에 대해서 

무한대에서 residue 값이 있는데, 치환을 하면 

이므로

또, . 따라서



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Integral with branch cut-004

Mathematics 2017. 6. 29. 14:28

을 그림과 같은 contour에 대해서 적분을 한다. f(z)는 z=0, 1이 branch point이고 branch cut은 그림과 같이 선택한다. 

C1에서 이므로

C3에서 이므로

그리고, C2, C4에서 값은 0이므로




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Integral with branch cut-003

Mathematics 2017. 6. 28. 20:16


을 contour 적분을 이용해서 구한다. z=i,-i가 f(z)의 branch point 이고, branch cut은 그림과 같이 선택한다.  

C1에서 이므로 

C3에서 이므로

C4에서 

그리고 C2, C∞에서 적분값은 0임을 쉽게 보일 수 있다. 따라서


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Integral with branch cut-002

Mathematics 2017. 6. 28. 08:40

을 그림의 contour를 따라 적분한다. f(z)는 z=0, z=∞가 branch point이므로 두 점을 잇는 선분을 branch cut로 잡는다.  z=-1은 double pole이다.

경로 C1에서 이므로

경로 C3에서 

경로 C2에서 

경로 C∞에서도 마찬가지로 0이다. 그리고, z=-1에서 residue값은

따라서, 





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Integral with branch cut-001

Mathematics 2017. 6. 27. 17:10

의 복소평면에서의 contour integral을 이용해서 적분을 구하자. f(z)는 z=-1, +1을 branch point로 가지므로 branch cut은 이 두 branch point을 연결하는 선으로 잡는다. 그리고 z=-i, +i 는 simple pole이다. 

branch cut 둘레를 도는 경로와 무한대를 도는 경로를 따라 적분하면 

이고, C1에서  이므로,

.

 C3에서 이므로,

.

C2에서 이므로,

같은 방법으로 C4와 C∞에서 기여가 없음을 보일 수 있다.

z=i와 z=-i에서 residue값은 각각 

이므로 적분값을 얻을 수 있다.



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