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I=Pr0xax+bdx,1<a<0,b<0

복소함수 f(z)=zaz+b를 그림과 같은 contour Γ=Cϵ+C1+C2+C3+C+C4+C5+C6에 대해서 적분할 것이다. z=0,이 branch point이므로 branch cut을 +x축으로 선택하고, z=b>0가 simple pole이므로 Cauchy principal value을 구하는 문제이다. 주어진 contour에서 analytic 하므로 Γf(z)dz=0.

1. Cϵ: z=ϵeiθ (ϵ0)

Cϵf(z)dz=O(ϵ1+a)0.

2. C1+C3: z=xei0 (x:0),

C1+C3f(z)dz=Pr0(xei0)ax+bdx=I.

3. C4+C6: z=xe2πi (x:0),

C4+C6f(z)dz=Pr0(xe2πi)ax+bdx=e2πaiI.

4. C2: z=(b)e0i, z+b=ϵeθi (θ:π0)

C2f(z)dz=0π(be0i)aϵeθiiϵeθidθ=iπ(b)a.

5. C5: z=(b)e2πi, z+b=ϵeθi, (θ:2ππ),

C5f(z)dz=π2π(be2pii)aϵeθiiϵeθidθ=iπ(b)ae2πai.

6.Cz=Reiθ  (R)

Cf(z)dz=O(Ra)0.

따라서,Γf(z)dz=I(1e2πai)iπ(b)a(1+e2πai)=0

 I=Pr0xax+bdx=(b)aπcot(πa).

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