I=Pr∫∞0xax+bdx,−1<a<0,b<0
복소함수 f(z)=zaz+b를 그림과 같은 contour Γ=Cϵ+C1+C2+C3+C∞+C4+C5+C6에 대해서 적분할 것이다. z=0,∞이 branch point이므로 branch cut을 +x축으로 선택하고, z=−b>0가 simple pole이므로 Cauchy principal value을 구하는 문제이다. 주어진 contour에서 analytic 하므로 ∫Γf(z)dz=0.

1. Cϵ: z=ϵeiθ (ϵ→0)
∫Cϵf(z)dz=O(ϵ1+a)⟶0.
2. C1+C3: z=xei0 (x:0→∞),
∫C1+C3f(z)dz=Pr∫∞0(xei0)ax+bdx=I.
3. C4+C6: z=xe2πi (x:∞→0),
∫C4+C6f(z)dz=Pr∫0∞(xe2πi)ax+bdx=−e2πaiI.
4. C2: z=(−b)e0i, z+b=ϵeθi (θ:π→0)
∫C2f(z)dz=∫0π(−be0i)aϵeθiiϵeθidθ=−iπ(−b)a.
5. C5: z=(−b)e2πi, z+b=ϵeθi, (θ:2π→π),
∫C5f(z)dz=∫π2π(−be2pii)aϵeθiiϵeθidθ=−iπ(−b)ae2πai.
6.C∞: z=Reiθ (R→∞)
∫C∞f(z)dz=O(Ra)⟶0.
따라서,∫Γf(z)dz=I(1−e2πai)−iπ(−b)a(1+e2πai)=0
∴ I=Pr∫∞0xax+bdx=−(−b)aπcot(πa).
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