주어진 길이의 폐곡선으로 가둘 수 있는 최대 면적의 도형은?

평면에서 주어진 길이의 폐곡선으로 가둘 수 있는 최대의 면적은 얼마이고 그 모양은 어떤 것일까?

이 문제는 변분법을 이용하면 쉽게 해결할 수 있다. 평면에서 폐곡선은 매개변수 $t$의 함수로 표현된 좌표쌍 $(x(t),y(t))$로 나타낼 수 있다.

우선 폐곡선의 면적은 미소 삼각형의 합이므로

$$A=\frac{1}{2}\int (x\dot{y}-y\dot{x})dt$$이고 폐곡선의 둘레 길이는

$$\ell =\int \sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=\int \sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}dt$$로 표현된다. 이제 $\ell$값이 고정될 때($={\ell }_0$) $A$를 최대로 하는 폐곡선은 아래의 action 

$$J=A+\lambda (\ell -{\ell }_0)=\int [\frac{1}{2}(x\dot{y}-y\dot{x})+\lambda \sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}]dt-\lambda {\ell }_0$$를 극대화시키는 해를 구하면 된다. 여기서 $\lambda$는 Lagrange multiplier이다. $x$에 대한 Euler-Lagrange 방정식

$$\begin{array}{r}\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\end{array}$$ 에서 

$$\frac{1}{2}\dot{y}=\frac{d}{dt}(-\frac{1}{2}y+\lambda \frac{\dot{x}}{\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}})$$ 또, $y$에 대한 E-L 방정식

$$\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}$$에서 

$$-\frac{1}{2}\dot{x}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}x+\lambda \frac{\dot{y}}{\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}})$$을 얻는다. 이 두 식을 적분하면 

$$x+\lambda \frac{\dot{y}}{\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}}=\text{const}=c_x$$

$$y-\lambda \frac{\dot{x}}{\sqrt{{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2}}=\text{const}=c_y$$을 얻을 수 있고, 정리하면

$$(x-c_x{)}^2+(y-c_y{)}^2={\lambda }^2$$이 되므로 최대면적을 갖는 폐곡선은 원임을 알 수 있다. 일반적으로 평면 폐곡선의 둘레의 길이가 $L$일 때 이 폐곡선이 가두는 면적  $A$는 다음의 부등식을 만족한다.

$$L^2\ge 4\pi A\text{(isoperimetric inequality)}$$

 

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Fourier Series를 이용한 Isoperimetric Inequality 증명