주어진 길이의 폐곡선으로 가둘 수 있는 최대 면적의 도형은?

평면에서 주어진 길이의 폐곡선으로 가둘 수 있는 최대의 면적은 얼마이고 그 모양은 어떤 것일까?

이 문제는 변분법을 이용하면 쉽게 해결할 수 있다. 평면에서 폐곡선은 매개변수 $t$의 함수로 표현된 좌표쌍 $(x(t), y(t))$로 나타낼 수 있다.

우선 폐곡선의 면적은 미소 삼각형의 합이므로

$$ A= \frac{1}{2} \int \left( x \dot{y} - y \dot{x}\right)dt$$이고 폐곡선의 둘레 길이는

$$\ell = \int \sqrt{dx^2 + dy^2} = \int \sqrt{ \dot{x}^2 + \dot{y}^2} dt$$로 표현된다. 이제 $\ell$값이 고정될 때($=\ell_0$) $A$를 최대로 하는 폐곡선은 아래의 action 

$$ J = A + \lambda ( \ell - \ell_0)= \int \left[  \frac{1}{2}(x \dot{y} - y\dot{x})+ \lambda  \sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y}^2 } \right] dt - \lambda \ell_0$$를 극대화시키는 해를 구하면 된다. 여기서 $\lambda$는 Lagrange multiplier이다. $x$에 대한 Euler-Lagrange 방정식

\begin{align}\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\end{align} 에서 

$$\frac{1}{2} \dot{y} = \frac{d}{dt} \left( -\frac{1}{2} y + \lambda \frac{\dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y} ^2}} \right)$$ 또, $y$에 대한 E-L 방정식

$$\frac{\partial L}{\partial y} = \frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot{y}}$$에서 

$$-\frac{1}{2} \dot{x} = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{2} x + \lambda \frac{\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y} ^2}} \right)$$을 얻는다. 이 두 식을 적분하면 

$$ x+ \lambda \frac{\dot{y}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y} ^2}}=\text{const}=c_x$$

$$ y- \lambda \frac{\dot{x}}{\sqrt{\dot{x}^2 + \dot{y} ^2}}=\text{const}=c_y$$을 얻을 수 있고, 정리하면

$$ (x- c_x)^2 + (y- c_y)^2 = \lambda^2 $$이 되므로 최대면적을 갖는 폐곡선은 원임을 알 수 있다. 일반적으로 평면 폐곡선의 둘레의 길이가 $L$일 때 이 폐곡선이 가두는 면적  $A$는 다음의 부등식을 만족한다.

$$  L^2 \ge 4\pi A\quad \text{(isoperimetric inequality)}$$

 

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Fourier Series를 이용한 Isoperimetric Inequality 증명