Integration along a branch cut-005

$$I= \int_0^1 (x^2 - x^3 ) ^{1/3} dx = \frac{2 \pi }{9\sqrt{3}}$$

복소함수

$$f(z) = (z^2 - z^3 ) ^{1/3}$$

을 그림과 같은 경로에 대해서 적분을 한다. $f(z)$는 $z=0, 1$이 branch point이므로 그림과 같이 branch cut을 선택한다. 그러면 위상은 $-\pi \le \text{arg}(z) \le \pi$ , $0 \le \text{arg}(1-z) \le 2\pi$로 선택할 수 있다. $$\begin{array}{c|c|c|c}  & \text{arg}(1-z) & \text{arg}(z) & [\text{arg}(1-z)+\text{arg}(z)]/2 \\\hline \\ -\infty\to 0 \downarrow   & 2\pi & \pi  & 3\pi/2 \\ -\infty \to 0 \uparrow & 0 & -\pi  & -\pi/2=3\pi/2~(\text{mod} ~2\pi)  \\  0\to 1\downarrow & 2\pi & 0&\pi \\ 0\to 1\uparrow  & 0 & 0 & 0 \\1\to \infty \downarrow &\pi &0 &\pi/2\\ 1\to \infty \uparrow &\pi &0 &\pi/2\end{array}$$ 그러면 $$\oint f(z)dz = \left(\int_{C_1} + \int_{C_2} +\int _{C_3} + \int _{C_4} +\int_{C_\infty} \right) f(z) dz = 0$$

$C_1$ 경로에 대해서 $z= x e^{i 0}$, $z-1=(1-x)e^{i \pi} \to 1-z=(1-x) e^{i 2\pi}$ $(x:0\to 1)$이므로

$$\int_{C_1} f(z) dz = e^{i 2\pi/3} \int_0^1 (x^2 - x^3)^{1/3}dx = e^{i 2\pi/3} I$$

$C_3$ 경로에 대해서 $z=x e^{i 0}$, $z-1=(1-x) e^{i\pi} \to 1-z=(1-x)e^{i0}$ $(x:1\to0)$이므로

$$\int_{C_3} f(z) dz = e^{i 2\pi} \int_1^0 (x^2 - x^3)^{1/3} dx = -I$$

무한대에서 residue 값이 있는데, 

$$z= 1/t$$

로 치환을 하면 

$$(z^2 - z^3) ^{1/3} = \frac{e^{i\pi/3}}{t} (1-t)^{1/3} = \frac{e^{i \pi/3} }{t} \left(  1- \frac{1}{3} t- \frac{1}{9} t^2 +\cdots\right)$$ 이므로

$$\begin{align}\int_{C_\infty} f(z) dz &= e^{i\pi/3} \int_{C_\epsilon} \frac{1}{t} \left( 1 - \frac{1}{3} t- \frac{1}{9} t^2+\cdots\right) \frac{dt}{-t^2} \\ &= e^{i\pi/3} \int_{C_\epsilon} \frac{1}{9} \frac{dt}{t} \\&= -2\pi i e^{i\pi/3} \frac{1}{9}~~~~(t = \epsilon e^{-i \theta}, ~\theta: 0\to 2\pi)\end{align}$$

또, $C_2~(z=\epsilon e^{i \theta})$, $C_4~(1-z= \epsilon e^{i \theta})$에 대해서 

$$\int f(z) dz = O(\epsilon^{1/3}\epsilon) \rightarrow 0.$$

따라서

$$( e^{i 2\pi/3} - 1) I = 2\pi i \frac{1}{9} e^{i \pi/3} ~~~~\to~~ I= \frac{2\pi}{9\sqrt{3}}$$