Geometry & Recognition

동일한 디스크 두 개의 중심이 가벼운 막대로 연결되어 있고, 앞 디스크는 처음 각속도 $\omega_0$로 시계방향 회전을 한다. 이 두 디스크를 바닥에 놓았을 때 앞바퀴와 달리 뒷바퀴에 작용하는 마찰이 충분히 커서 미끄러지지 않고 구르는 운동을 한다. 두 디스크는 처음 질량중심이 오른쪽 가속도를 가지지만 A의 각속도는 감소를 한다. 

1. A에 작용하는 운동마찰력의 방향은 오른쪽: $f_k = \mu mg$
2. B에 작용하는 정지마찰력($f$) 방향은 왼쪽
3. B의 cm에 대한 회전운동(막대의 장력은 토크 기여가 없음): 정지마찰력만 토크에 기여  $$ f R = \frac{1}{2} mR^2 \frac{a}{R}~~\to~~ f = \frac{m}{2} a$$
4. 계의 수평방향 cm 병진운동(수평방향 외력=마찰력)  $$ f_k - f = (m+m)a ~~\to~~ a = \frac{2}{5} \mu g$$
5. 따라서 B에 작용하는 정지마찰력: $f =  \frac{1}{5}\mu mg$
6. 바닥의 임의의 한 지점에 대한 각운동량 보존됨을 이용하면(바닥에서 작용하는 수평방향 마찰력은 토크를 만들지 못함) 최종적으로 두 바퀴가 공통으로 회전하는 각속도를 구할 수 있다. $$ L_i = L_{A,i} = \frac{mR^2}{2} \omega_0$$ 같은 각속도로 구르기 시작할 때, 두 바퀴의 질량중심운동과 질량중심축에 대한 회전운동이 각운동량에 기여하므로 $$L_f = \frac{3}{2} mR^2 \omega \times 2 $$ $$\to ~~~ \omega = \frac{1}{6} \omega_0$$

반지름 $R$인 half pipe 내부를 4가지 물체(A, B, C, D)가 미끄러짐이 없이 굴러서 내려간다. 물체가 pipe의 가장 낮은 지점에 도달했을 때 pipe 바닥이 작용하는 힘의 크기를 비교하면? 단, 물체의 질량과 반지름은 모두 같다.

미끄러운 바닥에 놓인 원판의 가장자리 한 지점(O)을 일정한 가속도로 당기기 시작한다. 이후 원판의 회전각속도를 회전각으로 표현하면? 처음 원판은 정지상태에 있다.

풀이:

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원판은 O을 기준으로 회전을 하면서 끌려간다. 질량중심의 가속도는 따라서 O점의 가속도 + O점에 대한 회전에 따른 가속도(구심+접선)의 벡터합으로 주어진다. 회전각속도가 $\omega$, 회전각가속도 $\alpha$일 때 구심가속도 = $a_c = R\omega^2$, 접선가속도는 $a_t = R\alpha$그리고 O점에만 힘이 가해지므로 O점에 대한 토크가 없으므로 토크 방정식은 $$ \sum \tau_O = 0 = I _{cm} \alpha + m(R\alpha)R - ma (R \cos \theta) $$

$$ \to~~ \alpha =\frac{ mRa }{I_{cm} + mR^2 } \cos \theta = \frac{2a}{3R} \cos \theta $$

회전각에 대해서 적분하면 

$$ \frac{1}{2} \omega^2 = \int_0^ \theta \alpha d \theta = \frac{ 2a}{3R} \sin \theta $$

$$ \to~~ \omega = \sqrt{  \frac{4a}{3R} \sin \theta}$$

물론 $0\le \theta \le \pi$인 범위다. 그 이후는 반대로 운동을 한다.