사람의 속도는?

무거운 줄이 도르래에 걸쳐있고, 한쪽 끝에는 사람이 매달려 있다. 사람이 갑자기 줄에 대한 상대속도 $v_{rel}$로 위쪽으로 올라간다. 이때 사람의 지상에 대한 속도는? 줄의 길이는 $L$, 단위길이당 밀도는 $\lambda$, 그리고 사람의 질량은 $M$이다. 

사람이 올라가기 위해서는 줄에 힘(충격량=$J$)을 주어야 하고, 이 힘의 반작용으로 위로 올라간다. 사람이 준 힘 때문에 줄은 아래로 움직이게 된다. 

사람의 운동량 변화(위쪽 =+) $Mv - 0 = J$

줄의 운동량 변화(아래쪽=+) $(\lambda L)u - 0= J$

따라서 $Mv = \lambda L u$이고, $v_{rel} = v - (-u)= v+u$이므로 

$$ v = \frac{\lambda L}{M+ \lambda L} v_{rel}$$

Q2: 사람이 올라가기 시작하면 사람쪽 줄의 무게가 더 크므로 더 빨리 내려가려고 할 것이다. 따라서 일정한 시간이 지나면 지상에서 볼 때 사람은 더 이상 위로 올라가지 못하게 된다. 그때가 언제인가?

이를 해결하기 위해 사람과 줄의 운동방정식을 만들자. 바닥에서 잰 사람의 높이를 $y$(위쪽+), 도르래에서 잰 왼쪽 줄의 끝을 $y_1$(아래+), 오른쪽 줄의 끝을 $y_2$(아래+)라면, $y_1 + y_2 = L=const$이다. 그리고 사람이 줄로 부터 받는 힘을 $f(t)$라면 사람의 운동방정식은 

$$ M y'' (t)= f(t) - Mg$$

그리고 줄의 운동은(아래쪽+, 줄의 총질량 $m=\lambda L$)

$$ m y_1''(t) =\lambda(y_1(t) - y_2(t) ) g + f(t) = 2\lambda g y_1(t) - mg +f(t)$$

상대속도가 일정하므로 $y(t)$와 $y_1(t)$사이의 관계를 만들 수 있다. $$v_{rel} = y' (t)+ y_1'(t) = const \\ \to ~~y_1''(t) = - y''(t) \\ \text{and} ~~ y(t) + y_1(t) =v_{rel} t +C$$

상수 $C$는 줄과 사람이 처음 평형상태였음을 이용하면 $\lambda   y_2(0) g = \lambda y_1 (0) g +Mg$ 에서 

$$ y_1(0) = \frac{m-M}{2\lambda}$$ 또 사람의 출발높이가 $y(0)=0$이므로 

$$ C= y_1(0) = \frac{m-M}{ 2\lambda}$$

이제 앞에서 얻은 방정식을 이용해서 $y(t)$의 운동방정식에서 $f(t)$을 소거하면

$$ \frac{m+M}{2\lambda g} y'' (t)- y(t)  = - v_{rel} t$$

이 방정식의 일반해는 

$$ y (t) = A \cosh (\alpha  t) + B \sinh (\alpha t) + v_{rel} t,~~~~\alpha^2 = \frac{2\lambda g}{m+M} $$

인데, $t=0$일 때 $y(0)=0$이므로 $A=0$이고, $y'(0)= \frac{m}{m+M} v_{rel}$ 였으므로 $B = -\frac{1}{\alpha} \frac{M}{m+M} v_{rel}$. 따라서 사람의 높이는 

$$y(t) = v_{rel} \left( t - \frac{1}{\alpha} \frac{M}{m+M} \sinh (\alpha t)\right) $$

사람이 더 이상 높이 올라갈 수 없는 상태가 되면 속도 $y'(t)=0$이어야 한다. 출발에서 그때까지 걸린 시간은

 $$y'(t) = v_{rel} \left( 1 - \frac{M}{m+M} \cosh (\alpha t) \right)=0 $$

$$ \to~~ t = \sqrt{\frac{m+M}{2\lambda g}} \cosh^{-1} \frac{m+M}{m} $$