Geometry & Recognition

구 내부에서 두 지점 간 사이거리의 역수를 구한 후 평균을 내면 얼마의 값을 가질까? 이를 위해서 단위구를 생각하자.

단위구 내부의 임의의 두 위치를 $\vec{r}_1$, $\vec{r}_2$라고 하면 각 위치를 포함하는 미소부피 $dr_i^3$가 단위구 내에서 선택될 확률이 $dr_i^3 /B_1$ ($B_1$=volume of unit ball= $\frac{4\pi}{3}$)이므로 두 지점이 선택될 확률은 $dr_1^3 dr_2^3/B_1^3$이다. 두 위치의 사이거리는 $|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|$이므로 거리 역수의 평균은 

$$  \left< \frac{1}{|\vec{r}_1- \vec{r}_2|}\right>_\text{unit ball} =\frac{1}{B_1^2} \iint _\text{unit ball}  \frac{dr_1^3 dr_2^3 }{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2| } =? $$

먼저 $r_2$에 대해서 적분을 수행하면, 좌표계는 임의로 잡을 수 있으므로 $\vec{r}_2$의 극좌표를 $\vec{r}_1$을 $z$ 축으로 선택한 경우와 동일하게 잡자. 그러면 cosine 정리에 의해 사이거리 역수는 

$$   \frac{1}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} = \frac{1}{\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos \theta }}$$이므로 $r_2$ 적분은

$$I_2 = \int _\text{unit ball}\frac{dr_2^3 }{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} = 2\pi\int_0^{1} r_2^2 dr_2  \int_{-1}^1 \frac{d\cos \theta}{\sqrt{r_1^2 + r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \theta }} $$ 먼저 $\cos \theta$ 적분을 하면,

$$\int_{-1}^1 \frac{d \cos \theta }{ \sqrt{ r_1^2 + r_2^2 - 2r_1 r_2 \cos \theta }} = \frac{|r_1 + r_2| - |r_1 - r_2|}{r_1 r_2 }$$절대값 기호를 풀기 위해서 $r_1$ 구간을 쪼개서 적분을 하면,

$$ I _2 = 2\pi \left( \int_0^{r_1} \frac{ 2 r_2^2  dr_2}{r_1 }+\int_{r_1} ^1 2 r_2 dr_2 \right) = 2\pi \left(1 -\frac{1}{3}r_1^2 \right) $$

적분 $I$는 $I_1$이 오직 radial 좌표에만 의존하므로 쉽게 구해진다.

$$ I = \int _\text{unit ball}I_2 dr_1^3 = 4\pi \int_0^1 2\pi \left(1 - \frac{1}{3} r_1^2 \right) r_1^2 dr_1 = \frac{32}{15} \pi^2 $$

로 얻어지고, 거리역수의 평균은

$$  \left< \frac{1}{|\vec{r}_1- \vec{r}_2|}\right>_\text{unit ball} =\frac{1}{B_1^2} \iint _\text{unit ball}  \frac{dr_1^3 dr_2^3 }{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2| } =\frac{6}{5}$$

이 결과는 물리적인 상황을 이용하면 더 쉽게 구할 수 있다. 예를 들면 균일하게 대전된 전하구의 전기위치에너지는 그 전하구를 구성하는 점전하 사이의 전기위치에너지의 합인데, 두 점전하의 전기위치에너지가 사이거리의 역수에 비례하므로 전하구의 전기위치에너지를 구하면 거리역수의 평균을 구할 수 있다. 균일한 전하구의 전기위치에너지는 대칭성 때문에 위와 같은 복잡한 적분을 하지 않더라도 쉽게 구할 수 있다.

역으로, 전하 $Q$로 대전된 반지름 $R$인 전하구의 전기 위치에너지는 전하구에 포함된 미소점전하 사이의 전기위치에너지의 절반이므로 

$$ U_C = \frac{1}{2} \sum_{i,j}\frac{k q_iq_j}{|\vec{r}_i - \vec{r}_j|}= \frac{k}{2} Q^2 \left< \frac{1}{|\vec{r}_i -\vec{r}_j |}\right> = k \frac{3}{5} \frac{Q^2}{R}$$로 쓰여짐을 알 수 있다.

이전 포스트에서 타원의 한 초점에서 나오는 빛은 타원에서 반사가 되면 다른 초점으로 모임을 보였다. 타원의 한 지점에서 접선벡터와 입사광선이 이루는 각이 접선벡터와 반사광의 이루는 각과 같음을 의미한다. 이를 물리적으로 증명하자. 그림과 같이 평면에 높인 타원이 있고, 타원의 한 지점에 길이 $L$인 줄을 걸친 후 두 초점을 통과하도록 만든다. 이제 초점을 통과한 줄 끝에 같은 무게의 추를 매단다. 두 추의 무게가 같으므로 추는 움직이지 않는 평형상태이고, 초점에서 매듭까지 거리를 각각 $d_1, d_2$라면 평면 아래로 늘어진 길이가 $L-d_1-d_2$이므로 두 추의 총 중력위치에너지는 $U=(d_1 +d_2 - L)mg$로 써진다.

그런데 타원상의 임의의 지점에서 $d_1 +d_2=\text{const}$이므로 중력위치에너지는 일정하게 된다. 따라서 추의 중력 때문에 줄에 생기는 장력은 타원의 접선방향 성분은 없고 오직 타원의 접선에 수직한 성분만을 만든다(힘은 위치에너지의 그래디언트임). 줄이 매듭에 작용하는 장력(매듭에서 각 초점을 향하는 방향이다)을 각각 $\vec{T}_1$, $\vec{T}_2$라면, $\vec{T}_1+\vec{T}_2$는 매듭 위치에서 타원의 법선방향이어야 한다. 이는 $\vec{T}_1$과 $\vec{T}_2$의 접선성분이 같음을 의미하므로 두 줄이 접선과 이루는 각이 같게 되어 반사법칙을 보일 수 있게 된다.

Euclidean 공간에서 Cauchy-Schwartz inequality는 두 벡터 내적의 크기는 두 벡터 크기의 곱보다 작음을 보여준다. 그러나 Minkowski 공간에서는 부등호 방향이 반대가 된다. 이를 잘 알려진 특수상대성 이론에서의 쌍둥이 역설(역설이라 표현되어 있지만 실제로 역설은 아니다) 예를 이용해서 보이자. 두 쌍둥이 중 A는 지구에서 남아 있고  B는 일정한 속도로 우주여행을 한 후에 다시 지구로 돌아왔을 때 여행을 한 쌍둥이 B가 더 젊다는 것은 특수상대성 이론이 보여준 자연의 법칙의 한 단면이다. 사람이 정지해 있거나 일정한 속도로 움직이는 경우 시공간에서 경로는 직선(시공간 벡터)으로 표현이 된다. 그리고 이 직선의 길이는(*Minkowski space 임에 주의) 시공간에서 이 두 지점(event)을 연결하는 직선을 따라 움직이는 사람의 끝 위치에서 나이가 시작에서 보다 얼마나 더 들었는가를 나타낸다. 여행을 떠난 쌍둥이 B의 목적지까지 시공간 벡터를 $\mathbf{a}$, 목적지에서 다시 지구까지 시공간 벡터를 $\mathbf{b}$라고 하면  다시 지구에서 두 쌍둥이가 재회하므로 두 벡터의 합은 지구에 남아 있는 쌍둥이 A의 시공간 벡터 $\mathbf{c}$와 같다.

$$ \mathbf{c}= \mathbf{a}+\mathbf{b}$$

여행을 시작해서 끝날 때까지 지구에 남아 있는 쌍둥이 A가 먹은 나이는 $|\mathbf{c}|$, 여행을 한 쌍둥이 B의 나이는 $|\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$ (목적지에서 방향을 바꾸는과정이 필요하므로 이보다 약간 더 먹는다). 두 쌍둥이가 다시 만났을 때 지구에 남아 있는 쌍둥이가 더 나이가 들어 있으므로

$$ |\mathbf{c}|  \ge |\mathbf{a}| + |\mathbf{b}|$$

이다. 양변을 제곱을 하면 다음과 같은 역 Cauchy-Schwartz 부등식을 얻을 수 있다(Mikowski metric의 signature에 선택에 무관하게 만들기 위해서 다시 제곱을 하였다)

$$ (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 \ge |\mathbf{a}|^2|\mathbf{b}|^2$$