Geometry & Recognition

두 개의 바퀴를 연결하는 벨트로 구성된 무한궤도가 있다. 이 무한궤도가 미끄러짐이 없이 일정한 속도 $v$로 움직일 때 운동에너지는? 단, 바퀴의 반지름은 $R$. 질량은 $M$, 그리고 벨트의 길이는 $L$, 질량은 $m$이다.

힌트: 두 바퀴는 rolling 하므로 운동에너지는(바퀴를 원판으로 단순화시키면) 

$$ K_{wheel} = 2\times \left( \frac {1}{2} Mv^2 + \frac {1}{2} I \omega^2 \right) = \frac {3}{2} Mv^2 $$

벨트에 대해서는 앞-뒤 바퀴에서 절반 감긴 부분은 바퀴와 동일하게 회전하면 앞으로 전진하므로 hoop의 rolling과 같다. 벨트 중 바퀴에 감기지 않는 위쪽 부분(길이= $(L - 2\pi R)/2$)은 $2v$, 아래쪽 부분(길이=$(L-2\pi R)/2$)은 정지한 상태이다. 벨트의 단위길이당 선밀도를 $\mu$, 전체 길이를 $L$이라 하면 

$$ K_{belt} =(2\pi R\mu) v^2 + \frac {1}{2} \mu \frac{L-2\pi R}{2} (2v)^2= \mu L v^2  = m v^2  $$이다. 따라서 전체 운동에너지는

$$ K = \left( \frac{3}{2} M + m \right) v^2$$

바퀴에 감긴 벨트의 운동에너지를 좀 더 엄밀하게 분석하자. 뒤 쪽 바퀴에 감긴 벨트는 바닥에서 떨어지면서 속도를 얻고 꼭대기에서는 바퀴에서 벗어나면서 $2v$의 일정한 속도를 가진다. 앞쪽 바뀌는 반대의 행동을 한다. 바퀴의 각 위치에서 벨트의 속도는 달라지는데(구름운동의 특징), 바퀴를 미소 부분으로 나눈 후 각 부분의 운동에너지를 더해서 그 결과가 hoop의 구름운동 운동에너지와 같음을 보이자. 바닥에서 $\theta$ 각 만큼 벌어진 부분의 미소질량은 $dm = \mu R d\theta$이고 속도는 병진운동에 의한 수평성분$(v)$과 중심에 대한 회전운동이 만드는 접선속도($R\omega=v$)를 가지는데 이 두 벡터의 방향을 고려하면 합벡터의 크기는 $2v\sin (\theta/2)$이다. 따라서 바퀴에 감긴 부분의 운동에너지 기여는 

$$ K_{belt, wound} = 2 \times \int_0^\pi  \frac{1}{2} \left( 2v \sin \frac {\theta}{2} \right)^2 \mu  R d\theta =  2\pi R \mu v^2$$

이어서 hoop의 rolling 운동에너지와 같음을 확인할 수 있다.

그림에 그려진 모양의 경사면을 미끄러짐 없이 굴러내려 가던 공이 수평면 끝에서 위로 수직하게 튕겨 올라간다. 공이 공중으로 올라간 최고 높이는 (A점 기준)?

1. $H$
2. $2H/5$
3. $5H/7$
4. $7H/5$

반지름 $R$인 half pipe 내부를 4가지 물체(A, B, C, D)가 미끄러짐이 없이 굴러서 내려간다. 물체가 pipe의 가장 낮은 지점에 도달했을 때 pipe 바닥이 작용하는 힘의 크기를 비교하면? 단, 물체의 질량과 반지름은 모두 같다.