가장자리가 당겨진 원판의 각속도는?

미끄러운 바닥에 놓인 원판의 가장자리 한 지점(O)을 일정한 가속도로 당기기 시작한다. 이후 원판의 회전각속도를 회전각으로 표현하면? 처음 원판은 정지상태에 있다.

풀이:

원판은 O을 기준으로 회전을 하면서 끌려간다. 질량중심의 가속도는 따라서 O점의 가속도 + O점에 대한 회전에 따른 가속도(구심+접선)의 벡터합으로 주어진다. 회전각속도가 $\omega$, 회전각가속도 $\alpha$일 때 구심가속도 = $a_c=R{\omega }^2$, 접선가속도는 $a_t=R\alpha$그리고 O점에만 힘이 가해지므로 O점에 대한 토크가 없으므로 토크 방정식은 $$\sum {\tau }_O=0=I_{cm}\alpha +m(R\alpha )R-ma(R\cos \theta )$$

$$\to \alpha =\frac{mRa}{I_{cm}+m{R}^2}\cos \theta =\frac{2a}{3R}\cos \theta$$

회전각에 대해서 적분하면 

$$\frac{1}{2}{\omega }^2={\int }_0^{\theta }\alpha d\theta =\frac{2a}{3R}\sin \theta$$

$$\to \omega =\sqrt{\frac{4a}{3R}\sin \theta }$$

물론 $0\le \theta \le \pi$인 범위다. 그 이후는 반대로 운동을 한다.