Geometry & Recognition

풀이: 막대의 토크에 대한 평형을 고려하자. 회전기준을 pivot으로 잡으면 중력과 부력이 토크에 기여한다. 중력이 만드는 토크는 $$ \tau_W = \rho g V \frac{L}{2}$$

물에 잠긴 비율이 $x$이면 물에 잠긴 부분의 중심은 pivot에서 $(1- x + \frac{x}{2}) L = \frac{2-x}{2}L$이므로 부력이 만드는 토크는 $$\tau_B = \rho_w g (x V) \frac{2-x}{2}L=\frac{1}{2}\rho_w g VL (2x - x^2)$$ 두 토크의 크기가 같다는 조건에서 ($s= \rho / \rho_w$) 

$$ x = 1 - \sqrt{1-s}$$

매우 서서히 움직인다고 했으므로 준정적평형상태(quasistatic equilibrium)로 생각할 수 있다. 막대(길이=$\ell$, 무게=$W$)가 수평과 $\theta$ 각을 이룰 때 작용하는 힘을 $F$(가변적이다)라면

$$ \sum F_x = f - F\sin  \theta = 0 $$

$$ \sum F_y = F \cos  \theta - W + N = 0 $$

$$ \sum \tau_{pivot}= F\ell - W\frac{\ell}{2} \cos \theta = 0$$ 여기서 미끄러짐이 없기 위해서는 $f  <\mu N$을 만족해야 하므로

$$ \mu  > \frac{f}{N} = \frac{F\sin \theta }{W - F\cos \theta} = \frac{\sin \theta \cos \theta}{2 - \cos^2 \theta}$$

우변의 최대값이 $\frac{1}{2\sqrt{2}}$이므로 바닥과의 정지마찰계수는 이보다 커야 한다.

수평이 될 때 막대의 회전각속도는 역학적 에너지 보존에 의해

$$ mg \frac{L}{2} \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \frac{1}{3}mL^2 \omega^2~\longrightarrow~ \omega^2 = \frac{3g}{2L}$$

질량중심이 반지름 $L/2$인 원운동을 하므로 수평이 되었을 때 수평방향 힘(구심력)은 

$$ F_h = m \frac{L}{2} \omega^2 = \frac{3}{4}mg$$

또, 회전축에 대한 알짜 토크는 중력만 기여하므로 운동방정식에서 막대가 수평이 되었을 때 회전각가속도를 구할 수 있다.

$$ \tau = mg\frac{L}{2} = \frac{1}{3} mL^2 \alpha~\longrightarrow~ \alpha = \frac{3g}{2L}$$

이므로 질량중심 운동방정식의 수직성분을 쓰면

$$  mg - F_v = m a_t = m \frac{L}{2} \alpha  ~\longrightarrow ~F_v = \frac{1}{4}mg $$

따라서  회전축이 작용하는 힘은 $F = \sqrt{F_h^2 + F_v^2} = \frac{\sqrt{10}}{4}mg$.