물체의 가속도는?

세 물체가 고정도르래와 움직도르래 그리고 두 개의 줄로 그림과 연결된 상태에서 운동을 시작한다. 도르래의 회전관성과 모든 마찰력은 무시할 수 있다.

1. 질량 $m_1$, $m_2$, $m_3$인 물체의 가속도를 각각 $a_1$, $a_2$, $a_3$이라 할 때 이들 사이의 관계는?
2. $m_1$과 $m_2$을 연결하는 줄에 걸리는 장력은?
3. $m_3$가 매달린 줄에 걸리는 장력은?

 

 

풀이:

아마 헷갈리는 포인트는 $m_1$, $m_2$, $m_3$의 운동이 완전히 독립적이 아니고 일정하게 제한되어 있는데, 그 제한조건을 구하는 부분일 것이다. 이는 적당한 좌표계를 도입하면 쉽게 찾을 수 있다. $m_1$과 $m_2$이 고정된 길이의 줄로 연결되어 있으므로 평균위치의 변화($(\mathrm{\Delta }{x}_1+\mathrm{\Delta }{x}_2)/2$)는 $m_3$가 내려간 길이($\mathrm{\Delta }{y}_3$)와 같다. 따라서 

$$\frac{a_1+a_2}{2}=a_3$$

$m_1$, $m_2$을 연결하는 줄에 걸리는 장력을 $T$라면, $m_3$가 연결된 줄의 장력은 $2T$이므로 운동방정식은,

$$m_1{a}_1=T$$$$m_2{a}_2=T$$$$m_3{a}_3=m_{3}g-2T$$

4개 변수 $a_1,a_2,a_3,T$에 방정식이 4개 있으므로 

$$a_1=\frac{2m_2{m}_3}{4m_1{m}_2+m_2{m}_3+m_3{m}_1}g$$

$$a_2=\frac{2m_3{m}_1}{4m_1{m}_2+m_2{m}_3+m_3{m}_1}g$$

$$a_3=\frac{(m_1+m_2)m_3}{4m_1{m}_2+m_2{m}_3+m_3{m}_1}g$$

$$T=\frac{2m_1{m}_2{m}_{3}g}{4m_1{m}_2+m_2{m}_3+m_3{m}_1}$$