체인이 움직이는 속력은?

충분히 긴 체인의 양끝을 책상과 바닥에 쌓은 후 그림처럼 도르래에 걸쳐 있게 잡고 있다. 체인이 움직일 수 있게 놓았을 때 그 속력을 시간의 함수로 구하라. 마찰과 도르래의 회전효과는 무시할 수 있다. 걸쳐있는 부분의 총 길이는 $\ell$이다.

풀이:

체인의 선밀도를 $\lambda$, 공중에 떠있는 체인의 길이를 각각 ${\ell }_L$, ${\ell }_R$이라면 오른쪽 부분에 작용하는 외력은 위쪽에서 작용하는 장력($\uparrow$)과 자체 무게($\downarrow$)가 있다. 이 둘의 합력이 왼쪽 부분의 운동량 변화를 일으키므로

$$T-\lambda {\ell }_{R}g=\frac{d{P}_R}{dt}=\lambda {\ell }_R\frac{dv}{dt}+\lambda v^2$$여기서 $\lambda v^2$은 책상 위에 정지한 체인을 속도 $v$로 변환시키는데 필요한 충격력이다. 왼쪽 부분에 작용하는 외력은 자체 중력($\downarrow$)과 위쪽으로 당기는 장력($\uparrow$), 그리고 바닥이 작용하는 충격력($\uparrow$)이 작용하므로 $$\lambda {\ell }_{L}g-T-f_{\text{floor}}=\frac{d{P}_L}{dt}=\lambda {\ell }_L\frac{dv}{dt}-\lambda v^2$$ $f_{\text{floor}}$는 체인이 바닥에 닿을 때 정지시키기 위해서 바닥이 작용하는 충격력으로 $f_{\text{floor}}=\lambda v^2$이다. 따라서

$$\lambda g{\ell }_L-T=\lambda {\ell }_L\frac{dv}{dt}$$두 식을 더하면 (${\ell }_L+{\ell }_R=\ell$)

$$\frac{dv}{dt}+\frac{1}{\ell }{v}^2=\frac{gh}{\ell }$$ 이 식의 해는 $$v(t)=\sqrt{gh}\tanh \left(\frac{\sqrt{gh}}{\ell }t\right)$$