늘어나는 고무줄 위에서 움직이는 벌레

길이 $L$인 고무줄의 한쪽이 벽에 고정되어 있다. 반대편 끝을 당겨서 일정한 속도 $V$로 움직이기 만든다. 끝을 당기는 시점에 고무줄의 끝에 있던 벌레가 벽을 향해서 기어간다. 벌레는 고무줄에 대해서 $u$의 일정한 속력으로 움직인다. 고무줄이 모두 지점에서 균일하게 늘어나는 경우 벌레가 벽에 도달하는 데 걸리는 시간은?

시간이 $t$일 때 벌레의 위치를 $x(t)$라면, 벌레 위치에서 고무줄이 늘어나는 속도(오른쪽)는 

$$ V \frac{x(t)}{L+Vt} $$

이고, 벌레가 움직이는 속도는 이 속도에서 고무줄에 대해 상대적으로 움직이는 속력 $u$(왼쪽)를 빼면 되므로

$$ v_\text{bug} = V \frac{x(t)}{L + Vt} - u =\frac{dx}{dt}$$

이다. 1차 미분방정식이므로 적분인자 $\exp[ -\int \frac{1}{L/V +t}dt ] = \frac{1}{t + L/V}$을 양변에 곱하면 

$$ \frac{d}{dt} \left( \frac{x(t)}{t + L/V} \right) = -\frac{u}{t + L/V}$$

로 쓸 수 있으므로 벌레의 위치는 

$$ x(t) = (Vt +L)\left(1 - \frac{u}{V} \ln \frac{Vt+L}{L} \right)$$

따라서 벽에 도달하는 데 걸리는 시간은 

$$ t_\text{wall} = \frac{L}{V} \left( e^{V/u}-1\right)$$

로 주어진다. 고무줄의 늘어나는 속력이 아무리 빨라도 결국에서는 벌레는 벽에 도달할 수 있다. 물론 고무줄 끝이 늘어나는 속도가 커지면 시간이 지수함수적으로 늘어나기는 하지만... 그리고 늘어나는 속력이 매우 작거나 아니면 벌레의 상대속력이 매우 큰 경우에는  $t_\text{wall} \to L /V$로 고무줄의 늘어남에 거의 무관하게 된다.