번지점프에서 경험할 수 있는 최대가속도는?

길이가 $L$이고 질량이 $m$인 번지점프줄에 질량이 $M$인 사람이 매달려 낙하한다. 사람이 경험할 수 있는 최대 가속도는?

1. 에너지 보존을 이용: 줄 자체의 무게에 의한 늘어짐은 무시하자. 처음 역학적 에너지는 줄의 위치에너지만 있고, 줄의 무게중심이 낙하지점에서 $L/4$만큼 아래에 있으므로

$$E_0=U_0=-mg\frac{L}{4}$$

낙하를 시작해서 $y$만큼 내려왔을 때 사람의 속력을 $v$라면, 사람 발에 묶인 줄의 속력도 $v$이고, 반대쪽 고정된 줄의 부분은 속력이 $0$이다. 발과 같이 떨어지는 부분의 길이가 $\frac{L-y}{2}$이므로 운동에너지는

$$K(y)=\frac{1}{2}M{v}^2+\frac{1}{2}\frac{m(L-y)/2}{L}{v}^2$$

줄의 움직이는 부분의 위치에너지는 

$$U_{\text{moving}}(y)=-\frac{m(L-y)/2}{L}g(y+\frac{L-y}{2})$$

줄의 정지된 부분(아래로 늘어진 길이= $(L+y)/2$)의 위치에너지는

$$U_{\text{still}}(y)=-\frac{m(L+y)/2}{L}g\frac{L+y}{4}$$

이다. 역학적 에너지 보존을 이용하면 ($\alpha =m/M$)

$$v^2=gy\frac{4L+2\alpha L-\alpha y}{\alpha L-\alpha y+2L}$$

이 식을 시간에 미분하면 가속도($a=dv/dt$)를 얻을 수 있는데, 앞서 구한 $v$를 넣어서 정리하면

$$a=g(1+\frac{\alpha y(4L+2\alpha L-\alpha y)}{2(\alpha L-\alpha y+2L{)}^2})$$

예상대로 $da/dm>0$이므로 줄의 질량이 커질수록 가속도는 더 커지고, $da/dy>0,y<L$이므로 내려가는 동안 더 가속도가 커져서 사람이 줄의 길이만큼 내려왔을 때 가장 커진다. 물론 그 이상 내려가면 늘어난 줄의 탄성때문에 사람이 내려가는 가속도가 줄어들어서 결국에는 감속의 단계에 이르게 된다. 

$$a(y=L)=g(1+\frac{\alpha (4+\alpha )}{8})$$

이고, 줄의 무게가 사람 무게와 같을 때($\alpha =1$) 최대 가속도는 

$$a(y=L)=1.625g$$

이다.

2. 운동방정식을 이용: 점프를 시작한 후 사람의 발이 묶인 움직일 수 있는 줄의 아래 끝 분은 둥그럽게 굽어지면서 정지를 한다. 이때 속도는 $v$에서 $0$으로 변하는데 평균적으로 완전히 정지할 때까지 평균적으로 $v/2$만큼의 속도를 가진다고 볼 수 있다.  움직이는 부분($m_{\text{obj}}$)의 질량이 연속적으로 변하므로 운동량 변화를 이용해서 운동방정식을 만들자($dp/dt=F_{\text{ext}}$).

$$[(m_{\text{obj}}+d{m}_{\text{obj}})(v+dv)+(-d{m}_{\text{obj}})(v/2)]-m_{\text{obj}}v=m_{\text{obj}}gdt$$여기서

$$m_{\text{obj}}=M+\frac{m(L-y)/2}{L},\frac{d{m}_{\text{obj}}}{dt}=-\frac{mv}{2L}$$

이를 모두 대입하면

$$a=\frac{dv}{dt}=g+\frac{\frac{1}{2}\alpha v^2}{\alpha (L-y)+2L}$$

$\frac{dv}{dt}=\frac{1}{2}\frac{d{v}^2}{dy}$임을 이용하여 적분하면 ($v(0)=0$) 에너지 보존을 이용해서 구한 $v^2$을 얻고, 이를 다시 $a$식에 대입하면 앞과 동일한 가속도를 얻는다.

 

그런데 어떻게 중력가속도보다 더 빨리 떨어질 수 있는가?