반지름이 $R$인 원판을 회전시킨 후 마찰이 있는 바닥에 놓았다. 원판의 각가속도는?
힌트: 원판을 미소링으로 분해를 한 후 각 링에 작용하는 마찰력에 의한 토크를 계산하자. 반지름 $r$과 $r+dr$ 사이의 링이 만드는 마찰토크는 (원판의 단위면적당 질량=$\sigma$)
$$ d\tau =- f_k r = -(\mu dm g) r = -\mu (\sigma 2\pi r dr) gr =- 2\pi \mu \sigma g r^2 dr$$
이므로 모든 미소링의 기여를 합하면
$$\to~~ \tau = \int d\tau = -2\pi \mu \sigma g \int_0^R r^2 dr =- \frac {2\pi}{3} \mu \sigma g R^3$$
따라서 회전운동 방정식 $\tau = I \alpha$에 적용하면 각가속도는
$$ \alpha = -\frac{4\mu}{3} \frac {g}{R}$$
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