막대의 회전 각속도는?

그림처럼 벽에 기대어 미끄러지고 있는 막대가 수평과 $30^\circ$ 각을 이루는 순간  오른쪽 끝이 바닥을 따라 움직이는 속도가 $v$다. 이 순간 막대의 회전각속도는?

1. $2v/L$
2. $v/L$
3. $2v/(\sqrt{3}L)$
4. 정보 부족

 

 

막대의 오른쪽 끝 속도를 막대방향과 수직방향으로 분해하면 $v_\parallel=v \cos(30)$, $v_\bot= v \sin (30) $으로 쓸 수 있고, 왼쪽 끝이 벽을 따라 내려오는 속도를 $v'$이라면 이 역시 막대방향과 수직방향으로 분해하면 $v'_\parallel= v' \cos(60)$, $v'_\bot= -v' \sin (60)$이다. 막대는 강체이므로 막대방향 속도성분은 같다. $$v'\cos(60)=v\cos(30)~~~\to~~~ v'=\sqrt{3}v$$ 위쪽을 A, 아래쪽을 B라면 

$$ \vec{v}_A = -\sqrt{3}v \hat{j},~~~\vec{v}_B = v \hat{i}$$이므로

$$\vec{v}_{cm} = \frac{1}{2}(\vec{v}_A + \vec{v}_B) = \frac{v}{2}( \hat{i} - \sqrt{3}\hat{j})$$

그런데 질량중심에서 A까지 변위가 $\vec{r}_A = -\frac{\sqrt{3}L}{4} \hat{i} + \frac{L}{4} \hat{j}$이므로$$\vec{v}_A = \vec{v}_{cm} + \vec{\omega} \times \vec{r}_A$$로 표현됨을 이용하면 $$\omega = \frac{2v}{L}$$

다른 방법으로는 이 순간 막대는 위치 $(\frac{\sqrt{3}L}{2}, \frac{L}{2})$을 기준으로 순간적으로 회전을 한다. 이 점에서 B까지 거리가 $L/2$이므로 $v_B = \frac{L}{2} \omega$에서 $\omega = \frac{2v}{L}$임을 얻을 수 있다.