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물통이 밀리지 않기 위한 마찰계수는?

Physics/유체역학 2025. 3. 3. 11:08

물통(바닥접촉 면적 $A A <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi></math>$ )의 아래에 구멍(단면적: $a ≪ A <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>≪</mo><mi>A</mi></math>$ )이 생기면 물이 빠져나가는데 이때 물통은 물과 반대로 밀리는 힘을 받는다. 물통이 뒤로 밀리지 않으려면 바닥과의 마찰계수는 얼마나 되어야 하는가?

힌트: 토리첼리 정리에 의해서 바닥 구멍에서 나오는 물의 속도는 수면과의 높이가 $h <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi></math>$ 일 때, $v = \sqrt 2 g h <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>v</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>2</mn><mi>g</mi><mi>h</mi></msqrt></math>$ 이다. 물이 나오는 과정에서 물의 운동량의 변화가 $Δ P = Δ m v <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>P</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mi>v</mi></math>$ 이므로 물통이 받는 반작용은 $F = Δ P / Δ t = v Δ m / Δ t <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>F</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>P</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>v</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi></math>$ 이고, 시간당 나오는 물은 $Δ m / Δ t = a ρ v <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>m</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>ρ</mi><mi>v</mi></math>$ 이므로

$F = a ρ v 2 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>F</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mi>ρ</mi><msup><mi>v</mi><mn>2</mn></msup></math>$

이 힘이 정지마찰력 보다 작으면 물통은 움직이지 않는데, 나오는 물의 속력이 제일 빠른 처음 물이 나올 때 가장 크다는 것을 알 수 있다.

$F≤μ(ρAh)g → μ≥2aA<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>F</mi><mo>≤</mo><mi>μ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>ρ</mi><mi>A</mi><mi>h</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>g</mi><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mo accent="false" stretchy="false">→</mo><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mtext> </mtext><mi>μ</mi><mo>≥</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow><mi>A</mi></mfrac></math>$

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막대
정삼각형
반원
질량에 따라 다르다.
기울어진 각도에 따라 다르다.

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한쪽 끝이 공중에 떠있는 막대가 부분적으로 물에 잠겨 있다. 물속에 들어가 있는 부분의 얼마인가? 막대의 길이는 $L <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>L</mi></math>$ , 비중은 $s < 1 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s</mi><mo><</mo><mn>1</mn></math>$ 이다.

힌트:

풀이: 막대의 토크에 대한 평형을 고려하자. 회전기준을 pivot으로 잡으면 중력과 부력이 토크에 기여한다. 중력이 만드는 토크는 $τW=ρgVL2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>τ</mi><mi>W</mi></msub><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mi>g</mi><mi>V</mi><mfrac><mi>L</mi><mn>2</mn></mfrac></math>$

물에 잠긴 비율이 $x <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi></math>$ 이면 물에 잠긴 부분의 중심은 pivot에서 $(1−x+x2)L=2−x2L<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo stretchy="false">(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac><mo stretchy="false">)</mo><mi>L</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>−</mo><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi>L</mi></math>$ 이므로 부력이 만드는 토크는 $τB=ρwg(xV)2−x2L=12ρwgVL(2x−x2)<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><msub><mi>τ</mi><mi>B</mi></msub><mo>=</mo><msub><mi>ρ</mi><mi>w</mi></msub><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">)</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>−</mo><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi>L</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msub><mi>ρ</mi><mi>w</mi></msub><mi>g</mi><mi>V</mi><mi>L</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>−</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo stretchy="false">)</mo></math>$ 두 토크의 크기가 같다는 조건에서 ( $s = ρ / ρ w <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>s</mi><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>/</mo></mrow><msub><mi>ρ</mi><mi>w</mi></msub></math>$ )

$x = 1 - \sqrt 1 - s <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><msqrt><mn>1</mn><mo>-</mo><mi>s</mi></msqrt></math>$

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