Integration along a branch cut-004

$$I={\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}=\pi$$

복소함수

$$f(z)=\frac{1}{\sqrt{z(1-z)}}$$을 그림과 같은 contour에 대해서 적분을 한다.

$f(z)$는 $z=0,1$이 branch point이므로 그림처럼 branch cut을 선택한다: 위상은 $-\pi \le \arg (z)\le \pi$, $0\le \arg (1-z)\le 2\pi$. 그러면 $$({\int }_{C_1}+{\int }_{C_2}+{\int }_{C_3}+{\int }_{C_4})f(z)dz={\int }_{C_{\mathrm{\infty }}}f(z)dz$$

$C_{\mathrm{\infty }}$를 $z=R{e}^{i\theta },\theta =0\to 2\pi$로 매개화하면 $${\int }_{C_{\mathrm{\infty }}}f(z)dz=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_0^{2\pi }\frac{iR{e}^{i\theta }d\theta }{iR{e}^{i\theta }}=2\pi$$

경로 $C_1$에 대해서는 $z=x{e}^{i0}$, $z-1=(1-x)e^{i\pi }\to 1-z=(1-x)e^{i2\pi }(x:1\to 0)$ 이므로 ($1-z={\text{Rot}}_{\pi }(z-1)$)

$${\int }_{C_1}f(z)dz={\int }_1^0\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}{e}^{i\pi }}={\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}=I$$

$C_3$에서 $z=x^{i0}$, $z-1=(1-x)e^{i\pi }\to 1-z=(1-x)e^{i0}(x:0\to 1)$이므로

$${\int }_{C_3}f(z)dz={\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}=I$$

그리고, $C_2:1-z=ϵe^{i\theta }$, $C_4:z=ϵe^{i\theta }$에서

$${\int }_{C_{2,4}}f(z)=O(\sqrt{ϵ})\to 0$$이므로

$${\int }_{C_1+C_2+C_3+C_4}f(z)dz={\int }_{C_{\mathrm{\infty }}}f(z)dz\to I=\pi$$