Integration along a branch cut-004

$$I = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} = \pi$$

복소함수

$$f(z) = \frac{1}{\sqrt{z(1-z)}}$$을 그림과 같은 contour에 대해서 적분을 한다.

$f(z)$는 $z=0, 1$이 branch point이므로 그림처럼 branch cut을 선택한다: 위상은 $ -\pi \le \arg(z) \le \pi$, $0 \le \arg(1-z) \le  2\pi$. 그러면 $$ \left(\int_{C_1}+\int_{C_2}+ \int_{C_3}+ \int_{C_4} \right) f(z)dz = \int_{C_\infty} f(z)dz$$

$C_\infty$를 $z=R e^{i\theta}, ~\theta=0\to 2\pi$로 매개화하면 $$\int_{C_\infty} f(z) dz = \lim_{R\to\infty} \int_0^{2\pi} \frac{ iR e^{i \theta} d \theta }{iR e^{i\theta}}= 2\pi $$

경로 $C_1$에 대해서는 $z=x e^{i0}$, $z-1=(1-x)e^{i\pi}\to1-z=(1-x)e^{i2\pi}~(x:1\to0)$ 이므로 ($1-z= \text{Rot}_{\pi} (z-1)$)

$$\int_{C_1} f(z)dz = \int_1^0 \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)} e^{i \pi }} = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}}=I$$

$C_3$에서 $z=x^{i 0 }$, $z-1=(1-x) e^{i\pi} \to 1-z=(1-x) e^{i 0}~(x:0\to1)$이므로

$$ \int_{C_3} f(z) dz = \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x(1-x)}} = I$$

그리고, $C_2:~1-z=\epsilon e^{i\theta}$, $C_4: ~z=\epsilon e^{i\theta}$에서

$$\int _{C_{2,4}}f(z) = O(\sqrt{\epsilon}) \rightarrow 0$$이므로

$$\int_{C_1+C_2 + C_3 +C_4} f(z)dz = \int_{C_\infty} f(z) dz ~\to~ I=\pi$$