Integration along a branch cut-001

$$I= \int_{-1}^{1} \frac{dx}{ (1+x^2)\sqrt{1-x^2 }}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}$$

복소평면에서 함수 $$f(z) =  \frac{1}{(1+z^2 ) \sqrt{ 1-z ^2 }}$$

의 contour integral을 이용해서 적분을 구하자. $f(z)$는 $z= \pm 1$을 branch point로 가지므로 branch cut은 이 두 branch point을 연결하는 선으로 잡는다. 위상은 각각 $-\pi \le \arg(1+z) \le \pi$, $0\le \arg(1-z) \le 2\pi$로 선택한다. $z=\pm i$ 는 simple pole이다.

Branch cut 둘레를 도는 경로와 무한대를 도는 경로를 따라 적분하면 simple pole $z=\pm i$을 포함하므로 Cauchy의 residue 정리에 의해서

$$\left( \int_{C_1+C_2+C_3+C_4} + \int_{C_\infty} \right) f(z)dz = 2\pi i \times \text{Res} (z= \pm i)$$ $C_1$에서 $$z+1 = (1+x) e^{i0}~(x:-1\to1) \\z-1=(1-x) e^{i\pi} ~\overset{\text{Rot}(\pi)}{\longrightarrow} ~1-z = (1-x) e^{i2\pi}$$ $$\int_{C_1} f(z) dz = \int_{-1}^1 \frac{dx}{ (1+x^2) \sqrt{1-x^2} e^{i\pi}}=-I$$

 $C_3$에서 $$z+1= (1+x) e^{i 0 }~(x:1\to -1) \\z-1= (1-x)e^{i\pi} ~\overset{\text{Rot}(\pi)}{\longrightarrow } ~1-z= (1-x) e^{i 0}$$ $$\int_{C_3} f(z)dz = \int_1^{-1} \frac{dx}{(1+x^2) \sqrt{1-x^2} } = -I$$

$C_2$, $C_4$에서 $z\pm 1 = \epsilon e^{i \theta}$로 놓으면

$$\int _{C_2 , C_4}f(z) dz = O(\sqrt{\epsilon})\rightarrow 0,$$

$C_\infty$에서도 $z=R e^{i \theta}$로 표현하면,

$$\int_{C_\infty} f(z)dz = O({ 1/R^2 })\rightarrow 0.$$

$z=i$에서 residue은 $$z+1 =\sqrt{2}e^{i\pi/4}, \\z-1= \sqrt{2} e^{i 3\pi /4} \to 1-z = \sqrt{2} e^{i7\pi/4}\\ \to \sqrt{1-z^2} = \sqrt{2} e^{i\pi} = - \sqrt{2}\\ \text{Res}f(z=i) =\frac{1}{(2i) (-\sqrt{2})} = \frac{i}{2 \sqrt{2}}$$ $z=-i$에서 residue는 $$z+1=\sqrt{2} e^{-i \pi/4} \\ z-1= \sqrt{2} e^{i 5\pi/4}\to 1-z=\sqrt{2} e^{ i\pi/4} \\ \to \sqrt{1-z^2} = \sqrt{2} \\ \text{Res} f(z=-i) = \frac{1}{(-2i) \sqrt{2}} = \frac{i}{2\sqrt{2}}$$

이므로 적분값을 얻을 수 있다.