Integration along a branch cut-002

$$I={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{a}dx}{(1+x{)}^2}=\frac{\pi a}{\sin \pi a}(-1<a<1)$$

복소함수

$$f(z)=\frac{z^a}{(1+z{)}^2}$$

을 그림의 contour를 따라 적분한다. $f(z)$는 $z=0,\mathrm{\infty }$이 branch point 이므로 cut line을 $+x$ 축으로$(0\le \arg (z)\le 2\pi$) 잡았다. $z=-1$은 double pole이다.

경로 $C_1$에서 $z=x{e}^{i0}(x:0\to \mathrm{\infty })$이므로

$${\int }_{C_1}f(z)dz={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^a}{(1+x{)}^2}dx=I$$

경로 $C_3$에서 $z=x{e}^{i2\pi }(x:\mathrm{\infty }\to 0)$이므로

$${\int }_{C_3}f(z)dz={\int }_{\mathrm{\infty }}^0\frac{x^a{e}^{i2\pi a}}{(1+x{)}^2}dx=-e^{i2\pi a}I$$

경로 $C_2$에서 $z=ϵe^{i\theta }(\theta :0\to 2\pi )$이므로

$${\int }_{C_2}f(z)dz=O({ϵ}^{1+a})\to 0.$$

경로 $C_{\mathrm{\infty }}$에서 $z=R{e}^{i\theta }$로 쓰면

$${\int }_{C_{\mathrm{\infty }}}f(z)dz=O(R^{a-1})\to 0.$$

그리고, $z=-1=e^{i\pi }$에서 residue값은

$$\text{Res}f(z=e^{i\pi })=\frac{d{z}^a}{dz}(z=e^{i\pi })=a(e^{i\pi }{)}^{a-1}=-a{e}^{i\pi a}$$ 따라서 residue 정리에 의해

$$\sum {\int }_{C_k}f(z)dz=2\pi i\times \text{Res}f(e^{i\pi })$$

$$(1-e^{i2\pi a})I=2\pi i(-a{e}^{i\pi a})\to I=\frac{\pi a}{\sin \pi a}$$