Integration along a branch cut-006

$$I = \int_0^\infty \frac{dx} { x [ (\log x)^2+\pi^2]}=1$$

복소함수 

$$f(z) = \frac{1}{z \log z}$$

을 그림과 같은 contour에 대한 적분을 고려하자.

Branch point가 $= 0, \infty$이므로 $-x$축을 cut line으로 선택하자. 그러면 $-\pi \le \text{arg}(z)\le \pi$로 선택할 수 있다. 그리고 

$$\oint f(z) dz = \int_{C_1 + C_2 + C_\epsilon + C_{\epsilon'}+ C_\infty} f(z) dz = 0$$  

경로 $C_1$에서는 $z= x e^{i \pi},~(x:\infty\to 0)$이므로

$$\int_{C_1}  f(z) dz = \int_\infty ^0 \frac{-dx}{(-x) (\log x + i\pi) }= - \int_0^\infty \frac{dx}{ x(\log x +  i \pi)}$$

경로 $C_2$에서는 $z= x e^{- i\pi}, ~(x: 0\to \infty)$이므로

$$\int_{C_2} f(z)dz = \int_0^\infty \frac{-dx}{(-x)(\log x - i\pi) } = \int_0^\infty \frac{dx}{ x(\log x - i\pi)}$$

경로 $C'_{\epsilon}$에서는 $z-1= \epsilon e^{i \theta}$로 놓으면 ($\log(1+\epsilon)\to \epsilon$)

$$\int_{C'_{\epsilon }} f(z) dz = \int_{\pi}^{-\pi}  \frac{i\epsilon e^{i \theta} d \theta}{(1+ \epsilon e^{i \theta} ) [\log (1+\epsilon  e^{i \theta})]} = \int_\pi^{-\pi} \frac{i\epsilon e^{i \theta} d \theta }{\epsilon e^{i \theta}} = -2\pi i$$

그리고 $C_\epsilon(z=\epsilon e^{i \theta}),  ~C_\infty(z=Re^{i \theta})$에서는 $$\int _{C_\epsilon} f(z) dz \sim \frac{1}{\log \epsilon} \to 0 \\ \int_{C_\infty} f(z) dz \sim \frac{1}{\log R} \to 0$$ 이므로

$$\int_0^\infty \left( \frac{1}{\log x -i \pi} - \frac{1}{\log x + i\pi}\right) dx = 2\pi i ~~~\to ~~~ I = 1$$