Fourier Series를 이용한 Isoperimetric Inequality 증명

면적이 $A$인 단순 평면 도형이 있을 때 그 둘레의 길이 $L$과의 사이에는 다음 부등식이 성립한다:

$$ L^2 \ge 4\pi  A$$

정 $n$ 각형에 대해서 이 부등식을 체크해 보면

$$ \frac{L^2}{4\pi A} = \frac{\tan(\pi/n)}{\pi/n}=\left\{\begin{array}{cc} 1.654 & \text{정삼각형}\\ 1.273&\text{정사각형} \\ 1.156&\text{정오각형}\\ 1.034&\text{정십각형}\end{array} \right.$$

증명: 평면에서 둘레의 길이가 $L$인 한 폐곡선을 곡선을 따라 움직인 길이를 매개변수로 사용해서 표현하자: $(x(s), y(s)),~s\in [0,L]$. 이 폐곡선을 복소평면으로 옮기면 $z(s)= x(s) + i y(s)$로 표시할 수 있다. $z(s)$는 $s$에 대해서 주기가 $L$ 복소함수로 볼 수 있다. Fourier series를 사용하기 편리하게 하기 위해서 매개변수를 바꿔 $z(t) = x(Lt/2\pi) + i y(Lt/2\pi)$로 표현하자. 그러면 $t$에 대한 주기가 $2\pi$가 되고 다음과 같이 Fourier 전개를 쓸 수 있다. (영상처리에서는 물체의 윤곽선에 대한 Fourier  계수를 이용해서 물체의 모양을 분류하는데 이용이 된다)

$$ z(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k e^{i k t}$$

먼저 $L^2$항을 뽑아내기 위해 다음의 적분을 고려하자. $s=Lt/2\pi$로 놓으면 $z(s)$은 곡선의 길이를 매개변수로 사용한 것이어서  $|dz/ds|=1$이므로

$$  \int_0^{2 \pi} \left|  \frac{dz}{dt} \right|^2 dt = \int_0^{2\pi} \left|\frac{dz}{ds} \right| ^2 \left( \frac{ds}{dt}\right)^2 dt = \frac{L^2}{4\pi^2} \int_0^{2 \pi} dt = \frac{L^2}{2\pi}$$ 

좌변에 Fourier 전개를 대입하면 (note: $ \int_0^{2\pi} e^{i (k-j)t} dt = 2\pi \delta _{kj}$)

\begin{align} \int_0^{2\pi}\left|  \frac{dz}{dt} \right|^2 dt= 2 \pi \sum_{k=-\infty}^\infty k^2 |a_k|^2 \end{align}

을 얻는다. 따라서

$$ \frac {L^2 }{4\pi^2 } = \sum_{k=-\infty}^\infty k^2 |a_k|^2 $$

다음으로 도형의 면적으로 표현하자.

\begin{align} A &= \frac {1}{2} \int_0^ {2\pi } \left(x \frac{dy}{dt}- y \frac{dx}{dt}  \right)dt \\ &= \frac{1}{2} \text {Re} \int_0^{2\pi} i z \overline{\frac{dz}{dt}}  dt= \pi \sum _{k=-\infty}^\infty k |a_k|^2 \end{align}

그런데 $$ \sum_k k^2 |a_k| ^2 \ge   \sum _k k |a_k|^2$$

이므로

$$ \frac{L^2}{4\pi} \ge A$$

을 얻는다. 그리고 등호 성립하려면 Fourier 계수가 $k=0, 1$이외에는 모두 0이어야 된다. 즉

$$ z(t) = a_0 + a_1 e^{i t}$$

인 경우인데, 이는 복소평면에서  중심이 $a_0$, 반지름이 $|a_1|$인 원을 나타낸다.

변분법을 이용해서도 원이 주어진 둘레길이를 가지는 평면도형 중에서 가장 넓은 면적의 도형임을 쉽게 보일 수 있다. 

https://kipl.tistory.com/187

주어진 길이의 폐곡선으로 가둘 수 있는 최대 면적의 도형은?