Snell's law and Brachistochrone Curve

Fermat의 원리는 빛이 한 지점에서 다른 지점으로 진행할 때 가장 시간이 적게 드는 경로를 따라 움직인다고 이야기하고 있다. 광속은 굴절률이 큰 곳에서 작아지므로 굴절률이 다른 두 지점을 통과하는 빛의 경로는 되도록이면 광속이 큰 곳을 오래 머무르는 경로를 선택하는 것이 시간상 유리하다. 따라서 매질의 경계면에서 진행방향이 꺾여야 된다. 구체적으로 광속이 $v_1$인 매질에서 $v_2$인 매질로 빛이 진행할 때 입사각  ${\alpha }_1$,  굴절각 ${\alpha }_2$인 경우  

$$\frac{\sin {\alpha }_1}{v_1}=\frac{\sin {\alpha }_2}{v_2}⟹\frac{v}{\sin \alpha }=\text{const}$$을 만족한다. 여기서 $\alpha$는 빛의 진행 방향을 매질 경계면에 수직인 방향에 대해 잰 각이다.

Fermat의 원리는 중력장에서 움직이는 물체에 대해서도 적용할 수 있다. 물체가 움직이면 중력 때문에 속력이 변하게 되므로 두 지점을 잇는 직선을 따라 움직이는 경로는 최단시간 경로가 되지 못한다. 구체적으로 한 지점에서 출발해서 처음보다 아래방향으로 $y$만큼  속력은 역학적 에너지 보존에 의해서 

$$v^2=2gy$$

로 주어진다. 속력이 $y$값이 (아래로) 증가하면 빨라지므로 굴절률이 $\sqrt{y}\sim \sqrt{-U_{\text{grav}}}$에 반비례해서 연속적으로 감소하는 경우로 생각할 수 있다. 

물체가 움직이는 경로상의 한 지점에서 접선이 수평에 대해 $\theta$만큼 기울어진 경우 입사각은 $\frac{\pi }{2}-\theta$이고, $\cos \theta =dx/ds$이다. 따라서 스넬의 법칙은 (제곱을 해서)

$$\frac{v^2}{{\sin }^2(\frac{\pi }{2}-\theta )}=\frac{v^2}{{\cos }^2\theta }=\frac{2gy}{(dx/ds{)}^2}=\text{const}=4gr$$

로 쓸 수 있다. $4gr$은 상수이다. 곡선의 미소길이

$$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}=\sqrt{1+(dy/dx{)}^2}dx$$

를 대입하면 중력장에서 물체가 움직이는 최소시간 경로는 다음의 비선형 미분방정식을 풀어서 얻을 수 있다.

$$(\frac{dy}{dx}{)}^2=\frac{2r}{y}-1⟹dx=\sqrt{\frac{y}{2r-y}}dy$$

잘 알려지다시피 이 방정식의 해는 cycloid 곡선으로 다음과 같이 표현할 수 있다. 

$$x=r(\psi -\sin \psi ),y=r(1-\cos \psi )$$

여기서 $\psi =\pi -2\theta$로 주어진다.

변분을 이용해서 구하는 경우는 https://kipl.tistory.com/186