Fourier transform of the Heviside step function

Heviside step function $\theta (t)$은 높이가 1인 계단형 함수로 다음과 같이 정의된다.

$$\theta (t)=\{\begin{array}{cc}1& t\ge 0\\ 0& t<0\end{array}$$

이 함수의 fourier transform을 구하려 할 때 이 정의 그대로 대입해서는 올바른 결과를 얻을 수 없다. 이를 위해서 $\theta$를 미분하면 delta 함수를 얻을 수 있고, $\delta (t)$를 다음과 같은 Fourier transform 형태로 쓸 수 있음을 이용하자.

$$\delta (t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-i\omega t}d\omega =\frac{d}{dt}\theta (t)$$ 따라서 적분을 해서 다음과 같이 생각할 수 있다.

$$\theta (t)\stackrel{?}{=}\frac{i}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-i\omega t}}{\omega }d\omega$$

그러나 이 적분은 $\omega =0$에서 제대로 정의가 안되므로 이를 회피하는 방법을 고안해야 한다. 이를 위해서 복소평면으로 확장을 한 후 pole의 위치를  $\omega =0$에서 조금 이동해서 $\omega =-iϵ(ϵ\to 0^{+})$이 되도록 하자. 물론 $\omega =+iϵ$ 쪽으로도 옮기는 경우도 고려할 수 있지만 이 경우에는 $\theta (-t)$가 된다. 이제 확인해 보도록 하자: $$\boxed{{\displaystyle \theta (t)=\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}\frac{i}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{-i\omega t}}{\omega +iϵ}d\omega }}$$

$t>0$인 경우는 복소평면의 아랫부분을 시계방향으로 도는 경로를 잡아서 적분하면 원호 부분에서는 기여가 없고 residue 정리에 의해서

$$\frac{i}{2\pi }{\oint }_{\text{lower half}}\frac{e^{-i\omega t}}{\omega +iϵ}d\omega =(-2\pi i)\frac{i}{2\pi }{e}^{-it(-iϵ)}=e^{-ϵt}$$ 

$t<0$일 때는 복소평면 위쪽을 반시계방향으로 회전하는 경로를 잡아서 적분하면 

$$\frac{i}{2\pi }{\oint }_{\text{upper half}}\frac{e^{-i\omega t}}{\omega +iϵ}d\omega =0$$

정리하면 $$\theta (t)=\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}\{\begin{array}{cc}{e}^{-ϵt}& t\ge 0\\ 0& t<0\end{array}$$

따라서 위의 적분이 제대로 된 $\theta (t)$의 한 표현을 제공함을 확인할 수 있다(Note, for $ϵ>0$, ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|{\theta }_{ϵ}(t)|<\mathrm{\infty }$이어서  Dirichlet condition을 만족시킴). 그런데 이 적분 표현은 Fourier transform의 형태를 가지므로 $\theta (t)$의 Fourier transform 역변환 정의 $$\theta (t)=\frac{1}{2\pi }\int \tilde{\theta }(\omega )e^{-i\omega t}d\omega$$와 비교하면

$$\begin{array}{c}\tilde{\theta }(\omega )=\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}\frac{i}{\omega +iϵ}=\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}\frac{ϵ+i\omega }{{\omega }^2+{ϵ}^2}=\underset{ϵ\to 0^{+}}{lim}\frac{ϵ}{{\omega }^2+{ϵ}^2}-\frac{1}{i\omega }\\ \text{or}\\ \tilde{\theta }(\omega )=\pi \delta (\omega )-\frac{1}{i\omega }\end{array}$$을 얻는다. 여기서 Lorentzian를 이용한 delta 함수를 표현을 사용했다. 그리고 $1/\omega$ 부분의 적분은 Cauchy의 pricipal value prescription을 써서 적분을 해야 한다. $$\begin{array}{rl}\frac{1}{2\pi }\text{P}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{-i\omega }g(\omega )d\omega & =\frac{1}{2\pi }\underset{\delta \to 0}{lim}({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{-\delta }+{\int }_{\delta }^{\mathrm{\infty }})\frac{1}{-i\omega }g(\omega )d\omega \end{array}$$

$$\boxed{{\displaystyle \tilde{\theta }(\omega )=\pi \delta (\omega )-\text{P}\left(\frac{1}{i\omega }\right)}}$$

시간 변수에 대한 역 Fourier transform의 정의로 $$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\tilde{f}(\omega )e^{i\omega t}d\omega$$

을 사용하는 경우에는 앞의 결과에서 $\omega \to -\omega$를 해서, $$\tilde{\theta }(\omega )=\pi \delta (\omega )+\frac{1}{i\omega }$$가 된다. 물리적으로는 에너지 연산자가 $i\hslash \partial /\partial t$이므로 시간 변수의 Fourier 변환은 전자의 정의를 사용하고, 운동량 연산자가 $-i\hslash \mathrm{\nabla }$이므로 공간 변수에 대한 Fourier 변환은 후자를 사용한다.