Fourier transform of the Heviside step function

Heviside step function $\theta(t)$은 높이가 1인 계단형 함수로 다음과 같이 정의된다.

$$ \theta (t) = \left\{ \begin{matrix}  1 & t\ge 0  \\ 0 & t <0\end{matrix}\right.$$

이 함수의 fourier transform을 구하려 할 때 이 정의 그대로 대입해서는 올바른 결과를 얻을 수 없다. 이를 위해서 $\theta$를 미분하면 delta 함수를 얻을 수 있고, $\delta (t)$를 다음과 같은 Fourier transform 형태로 쓸 수 있음을 이용하자.

$$ \delta (t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty e^{- i \omega t} d \omega = \frac{d}{dt} \theta(t) $$ 따라서 적분을 해서 다음과 같이 생각할 수 있다.

$$\theta (t)  \overset{?}{=} \frac{i}{2\pi }  \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-i \omega t}}{ \omega} d \omega$$

그러나 이 적분은 $\omega=0$에서 제대로 정의가 안되므로 이를 회피하는 방법을 고안해야 한다. 이를 위해서 복소평면으로 확장을 한 후 pole의 위치를  $\omega=0$에서 조금 이동해서 $\omega = - i\epsilon~(\epsilon \to 0^+)$이 되도록 하자. 물론 $\omega = +i \epsilon$ 쪽으로도 옮기는 경우도 고려할 수 있지만 이 경우에는 $\theta(-t)$가 된다. 이제 확인해 보도록 하자: $$ \theta(t) = \lim_{\epsilon\to 0^+} \frac{i}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-i \omega t}}{\omega +i \epsilon} d\omega$$

$t>0$인 경우는 복소평면의 아랫부분을 시계방향으로 도는 경로를 잡아서 적분하면 원호 부분에서는 기여가 없고 residue 정리에 의해서

$$ \frac{i}{2\pi} \oint_\text{lower half} \frac{e^{-i\omega t}}{\omega+i \epsilon}d \omega = (-2\pi i) \frac{i}{2\pi}e^{-it (-i\epsilon)} = e^{- \epsilon t}$$ 

$t<0$일 때는 복소평면 위쪽을 반시계방향으로 회전하는 경로를 잡아서 적분하면 

$$ \frac{i}{2\pi} \oint_\text{upper half} \frac{e^{-i\omega t}}{\omega+i \epsilon}d \omega = 0$$

정리하면 $$  \theta (t) = \lim_{ \epsilon\to 0^+}\left\{ \begin{matrix}   e^{-\epsilon t} & t \ge 0 \\ 0 & t < 0  \end{matrix}\right. $$

따라서 위의 적분이 제대로 된 $\theta(t)$의 한 표현을 제공함을 확인할 수 있다(Note, for $\epsilon>0$, $ \int_{-\infty}^\infty |\theta_\epsilon (t)| < \infty$이어서  Dirichlet condition을 만족시킴). 그런데 이 적분 표현은 Fourier transform의 형태를 가지므로 $\theta(t)$의 Fourier transform은 $\theta(t)=\frac{1}{2\pi}\int \tilde{\theta}(\omega)e^{-i\omega t} d\omega$와 비교하면

\begin{align} \tilde { \theta}(\omega) &=  \lim_{\epsilon\to 0^+ }\frac{i}{\omega + i \epsilon} \\ &=\lim_{\epsilon\to0^+} \frac{ \epsilon+ i \omega}{\omega^2 + \epsilon^2} \\ &=  \lim_{\epsilon\to0^+} \frac{\epsilon}{\omega^2 + \epsilon^2 } - \frac{1}{i\omega} \\ &=\pi \delta (\omega) - \frac{1}{i \omega} \end{align}을 얻는다. 여기서 Lorentzian를 이용한 delta 함수를 표현을 사용했다.

시간 변수에 대한 Fourier transform의 정의로

$$ f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty  {\tilde f}(\omega) e^{i \omega t} d \omega$$

을 사용하는 경우에는 앞의 결과에서 $\omega \to - \omega$를 해서, 

$$ \tilde{\theta}(\omega) = \pi \delta(\omega) + \frac{1}{i \omega}$$

가 된다. 물리적으로는 에너지 연산자가 $i\hbar \partial/\partial t$이므로 시간 변수의 Fourier 변환은 전자의 정의를 사용하고, 운동량 연산자가 $-i \hbar \nabla$이므로 공간 변수에 대한 Fourier 변환은 후자를 사용한다. 그리고 $1/\omega$ 부분의 적분은 Cauchy의 pricipal value prescription을 써서 적분을 해야 한다.

\begin{align} \frac{1}{2\pi} \text{P} \int_{-\infty}^\infty \frac{e^{-i \omega t}}{-i\omega}d\omega &=\frac{1}{2\pi} \lim_{\delta \to 0} \left( \int_{-\infty}^{-\delta} + \int_\delta ^\infty  \right) \frac{e^{-i \omega t}}{- i\omega}d\omega  \\ &= \frac{1}{ \pi }\lim_{\delta\to 0}  \int_\delta ^\infty \frac{\sin (\omega t)}{ \omega }d\omega \\ &=\frac{1}{2} \text{sgn}(t) \end{align}이므로 다음을 얻는다.

$$\frac{1}{2}\left(1 + \text{sgn}(t) \right) = \theta(t)$$