I=0(logx)2x2+1dx=π38I=0(logx)2x2+1dx=π38

Branch cut x1x1-축

복소평면에서 함수 f(z)=(logz)2z2+1f(z)=(logz)2z2+1를 고려하자. z=0,z=0,f(z)f(z)의 두 branch point이므로 +x+x축을 cut line으로 선택하고 그림과 같은 contoure을 따라 적분을 하자. z=±iz=±if(z)f(z)의 두 simple pole이다.

CϵCϵ에서 적분은 z=ϵeiθ, θ:π0z=ϵeiθ, θ:π0로 표현하면 

Cϵf(z)dz=0π(logϵeiθ)2iϵeiθdθ0Cϵf(z)dz=0π(logϵeiθ)2iϵeiθdθ0

마찬가지로 (logR)2R0 (R)(logR)2R0 (R)이므로 CC에서 적분은 

Cf(z)dz=0Cf(z)dz=0

C1C1에서 적분은 z=xei0, x:0z=xei0, x:0이므로 

C1f(z)dz=0(logx)2x2+1dx=IC1f(z)dz=0(logx)2x2+1dx=I

C2C2에서 적분은 z=xeπi, x:0z=xeπi, x:0이므로( 0logxx2+1dx=00logxx2+1dx=0)

C2f(z)dz=0(logx+πi)2x2+1eiπdx=I+2πi0logxx2+1eiπdxπ20dxx2+1eiπdx=I+0π32

Contour가 z=i 포함하므로 residue 정리에 의해서 

Cϵ+C1+C2+Cf(z)dz=2πi×(iπ/2)22i=π34

이므로 

I=0(logx)2x2+1=π38

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