I=∫∞0(logx)2x2+1dx=π38I=∫∞0(logx)2x2+1dx=π38


복소평면에서 함수 f(z)=(logz)2z2+1f(z)=(logz)2z2+1를 고려하자. z=0,∞z=0,∞가 f(z)f(z)의 두 branch point이므로 +x+x축을 cut line으로 선택하고 그림과 같은 contoure을 따라 적분을 하자. z=±iz=±i는 f(z)f(z)의 두 simple pole이다.

CϵCϵ에서 적분은 z=ϵeiθ, θ:π→0z=ϵeiθ, θ:π→0로 표현하면
∫Cϵf(z)dz=∫0π(logϵeiθ)2iϵeiθdθ→0∫Cϵf(z)dz=∫0π(logϵeiθ)2iϵeiθdθ→0
마찬가지로 (logR)2R→0 (R→∞)(logR)2R→0 (R→∞)이므로 C∞C∞에서 적분은
∫C∞f(z)dz=0∫C∞f(z)dz=0
C1C1에서 적분은 z=xei0, x:0→∞z=xei0, x:0→∞이므로
∫C1f(z)dz=∫∞0(logx)2x2+1dx=I∫C1f(z)dz=∫∞0(logx)2x2+1dx=I
C2C2에서 적분은 z=xeπi, x:∞→0z=xeπi, x:∞→0이므로( ∫∞0logxx2+1dx=0∫∞0logxx2+1dx=0)
∫C2f(z)dz=∫0∞(logx+πi)2x2+1eiπdx=I+2πi∫0∞logxx2+1eiπdx−π2∫0∞dxx2+1eiπdx=I+0−π32
Contour가 z=i 포함하므로 residue 정리에 의해서
∫Cϵ+C1+C2+C∞f(z)dz=2πi×(iπ/2)22i=−π34
이므로
I=∫∞0(logx)2x2+1=π38

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