바퀴를 원형으로 만드는 것보다는 네모로 만드는 것이 가공 측면에서 더 쉽다(?). 그러나 네모 바퀴는 중심이 바닥에서 계속 위-아래로 움직이므로 승차감이 떨어진다. 수평 바닥을 움직일 때 무게중심은 바퀴의 대각선이 수직으로 설 때 바닥에서 가장 높고, 한 변이 접할 때 바닥에서 가장 낮으므로, 바퀴 중심이 일정한 높이에서 움직이게 하려면 바닥의 모양을 평평할 수 없다. 바퀴의 무게중심이 출렁거림 없이 움직이기 위해서는 바닥의 모양이 어떤 형태로 주어야 져야 하는지 알아보자.

https://www.youtube.com/watch?v=qFVti39MvX8

 

우선 바퀴의 한 변의 길이를 $2\ell$로 하자. 그러면 평평한 바닥일 때 무게중심은 바닥에서 최대로 $\sqrt{2}\ell$ 만큼 올라가므로, 바닥을 변형시킬 때 이 높이를 유지할 수 있도록 모양을 선택하고 이때 곡선을 기술하는 $x$ 좌표를 $x=0$으로 잡는다. $x>0$일 때 바퀴의 한 변이 접하는 접점의 좌표를 $(x, y)$라면, 이 점에서 기울기가 $y' =dy/dx =\tan \psi$이므로 접선의 방정식은 ($(X,Y)$로 표현) 

$$Y - y = y' (X - x) $$

로 표현된다. 그리고 바퀴의 중심은 $(x, \sqrt{2}\ell)$에 있음을 알 수 있고, 중심에서 접선에 가장 가까운 점을 $(X_0, Y_0)$라고 하면 그림에서

$$X_0 - x = (\sqrt{2}\ell- y)\sin \psi \cos \psi = (\sqrt{2}\ell- y) \frac{y'}{{1+(y')^2}} ,$$

$$\sqrt{2}\ell - Y_0 = (\sqrt{2}\ell -y) \cos^2 \psi = (\sqrt{2}\ell-y) \frac{1}{{1+ (y')^2}}.$$

임을 알 수 있다. 바퀴 중심에서 접선까지 거리가 $\ell$이므로 이를 두 점 $(x, \sqrt{2}\ell)$, $(X_0, Y_0)$의 사이거리로 표현하면

$$\ell^2  =  (x - X_0)^2 + (\sqrt{2}\ell- Y_0)^2$$

 

위의 관계를 정리하면

$$ \ell^2 = (\sqrt{2}\ell- y)^2 \left[ \frac{(y')^2}{ (1+ (y')^2)^2}  + \frac{1}{(1+(y')^2 )^2}\right]$$

이므로 곡선에 대한 다음 식을 얻는다.

$$y = \sqrt{2}\ell - \ell \sqrt{1+ (y')^2}$$

한 번 더 미분하면,

$$ y'' = -\frac{1}{\ell} \sqrt{1 + (y')^2}$$

이어서 위로 볼록인 catenary 형태로 바닥이 만들어져야 함을 알 수 있다. 

$y(0)=0$, $y'(0)=1$을 만족해야 하므로 해는

$$ y= \sqrt{2}\ell - \ell \cosh[ \cosh^{-1}(\sqrt{2}) - x/\ell]$$

임을 알 수 있고, 언덕 하나를 넘는 동안 수평이동거리는 $x= 2\ell \cosh^{-1}(\sqrt{2})\approx 1.76275\ell$이다. 중심이 등속운동($dx/dt = v$)을 하는 경우 바퀴의 회전각속도는 ($y'=\tan\psi$)

$$\frac{d\psi}{dt} = v\cos^2(\psi) y'' = -\frac{v}{\sqrt{2}\ell - y}= - \frac{v}{\ell \cosh[\cosh^{-1}(\sqrt{2})- vt/\ell] }$$

이므로 등각속도 운동은 아니다.

 

Ref: https://my.vanderbilt.edu/stacyfonstad/files/2011/10/squareWheels.pdf

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Posted by helloktk
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