Catenary: Variational Approach

두 지점 $x=\pm a$에 같은 높이로 고정되어 있는 길이 $L$인 줄이 만드는 곡선 $y(x)$는 catenary라고 불리는 곡선으로 표현됨은 이미 알고 있다. 이를 에너지 관점에서 구하도록 하자. 전체 계의 에너지는 평형상태이므로 줄의 중력 위치에너지만 존재한다. 줄의 선밀도가 $\mu$일 때 중력 위치에너지는

$$ U = \int {g y dm} = \int {g y \mu ds} = \mu g \int_{-a}^{a}  y \sqrt{1+ (y')^2} dx$$

그리고 줄의 길이가 $L$이므로 

$$ L = \int ds =\int_{-a}^{a} \sqrt{1 + (y')^2 } dx $$

따라서 일정한 길이를 가지면서 위치에너지를 최소화시키는 곡선의 모양을 찾아야 하는데 이는 아래의 범함수의 stationary point를 찾는 문제다.

$$ J = \mu g \int_{-a}^{a} y \sqrt{1 + (y')^2} dx + \mu g \lambda \Big( \int_{-a}^{a} \sqrt{ 1+ (y')^2} dx - L\Big) \\ = \mu g \int_{-a}^{a} \left[ y \sqrt{1+ (y')^2} + \lambda \Big( \sqrt{ 1 + (y')^2} - \frac{L}{2a} \Big) \right] dx \\ = \mu g\int_{-a}^{a} {\cal L} dx$$ 

여기서 $\lambda$는 Lagrange multiplier이다. ${\cal L}$이 명시적으로 $x$에 의존하지 않으므로 (first integral of E-L equation)

$$ {\cal L} - y' \frac{\partial \cal L}{\partial y'} = C=\text{const}$$

임을 알 수 있고, 이를 정리하면 다음의 결과를 얻는다:

$$ y' = \sqrt{ \left( \frac{y + \lambda}{C+ \lambda L/ 2a}\right)^2 -1}$$

이 방정식을 바로 적분을 해서 구체적인 해를 구해도 되지만, 여기서는 이 식을 한 번 더 미분하면

$$ y'' = \frac{1}{C+\lambda L/2a} \sqrt{1+  (y')^2} = \frac{1}{k} \sqrt{1+ (y')^2}$$

을 얻는다. 이 식이 현수선을 기술하는 미분방정식임을 이미 앞에서 살펴보았다. 

https://kipl.tistory.com/352

 

Catenary