Gibbs Phenomenon

여러 가지 함수를 Fourier series로 전개하여 재구성해 보면, 적은 수의 부분합만으로도 원래 함수의 모양이 잘 재현되는 경우가 있는 반면, 아무리 많은 항을 더하더라도 특정 구간에서는 원래 함수와 완전히 일치하지 않는 경우도 있다. 이러한 차이는 함수의 연속성에 기인한다.

함수값이 급격하게 변하지 않는 연속함수는 Fourier series의 부분합의 개수가 증가할수록 원래 함수로 빠르게 수렴한다. 반면, 함수값이 갑자기 뛰는 불연속점을 포함하는 함수에서는 불연속점 부근에서 Fourier series의 부분합이 원래 함수를 정확히 재현하지 못한다. 이때 불연속점의 큰 값 쪽에서는 overshoot가, 작은 값 쪽에서는 undershoot가 나타난다.

특히 이러한 돌출부는 부분합의 항 수를 아무리 증가시켜도 완전히 사라지지 않는다. 항의 개수가 증가할수록 돌출부가 나타나는 구간의 폭은 점점 좁아지지만, 최대 overshoot의 크기는 불연속점에서의 점프 크기의 약 9% 수준으로 남게 된다. 이처럼 불연속점 부근에서 Fourier series의 부분합에 overshoot와 undershoot가 지속적으로 나타나는 현상을 Gibbs phenomenon이라 한다.

Gibbs 현상은 Fourier series에만 국한된 현상이 아니라, 불연속점을 갖는 함수를 직교 기저 함수로 전개할 때 일반적으로 나타나는 현상이다. 즉, Fourier 급수뿐만 아니라 Fourier transform, Chebyshev 다항식, Legendre 다항식 등 다양한 직교 함수 전개에서도 동일한 현상이 발생한다.

 

구체적으로 다음 식으로 표현이 되는 square wave

\begin{gather}f(x)=\left\{ \begin{array}{cc}1, &  0<x <\pi \\ 0 , & x=0, \pm \pi \\ -1, & -\pi <x <0\end{array}\right. \end{gather}

을 아래처럼 홀수의 harmonics을 순차적으로 더해서 근사하는 경우를 살펴보자. 

\begin{gather}f_{k}(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{j=1}^{k} \frac{ \sin (2j-1)x}{2j-1}=\frac{4}{\pi}\left(\sin (x) + \frac{\sin 3x}{3} + \cdots + \frac{\sin(2k-1)x}{2k-1}\right) .  \end{gather}

$k\to\infty$이면 Fourier 전개에 해당한다. 이 합은 $f(x)$의 불연속점인 $x=0, \pm\pi$을 제외한 영역에서 square wave $f(x)$로 균일하게 수렴한다. 이는 $k$를 증가시키면 불연속점 근방을 제외한 영역에서 부분합 $f_{k}(x)$의 그래프가 square wave의 그래프에 한없이 가깝게 접근함을 의미한다. 그러나 harmonics의 개수를 증가시키더라도 불연속 근방에서 돌출부의 overshoot나 undershoot의 세기는 변하지 않는다. 다만 $k$를 증가시키면 그 폭은 점점 불연속점을 향해 좁아진다. 불연속점$(x=0)$을 기준으로 좌우에서 첫째로 나타나는 극대/극소값의 크기는 $|f(0)+ \frac{f(0^+)-f(0^-)}{\pi} \int_0^\pi \frac{\sin(x)}{x} dx|$로 계산된다. 이 값과 $f(0^\pm)$과의 차이의 절반인 

$$\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \frac {\sin (x)}{x} dx -\frac {1}{2}= 0.0894898\dots$$가 불연속점 $x=0$에서 overshoot나 undershoot의 세기에 해당한다. 이 값은 Wilbraham-Gibbs 상수로 불린다.