쌍극자에 의해 유도되는 전하량은?

접지된 도체구 주변에 쌍극자 모멘트가 $\vec{p}$인 점쌍극자가 놓여있다. 도체구에 유도되는 알짜 전하는?

풀이: 쌍극자의 방향에 따라 도체구에 유도되는 전하분포가 달라질 것으로 예상할 수 있다. 도체구의 반지름이 $a$이고, 구 중심에서 $\vec{d}$만큼 떨어진 위치에 쌍극자가 있는 경우를 생각하자. 이 상황은 Green's reciprocity theorem을 이용하면 쉽게 해결할 수 있다. 우선 전하분포와 전위를 알 수 있는 간단한 경우를 고려하면, 접지가 안된 도체구를 전하 $q$로 대전시킨 경우다. 이 전하분포가 만드는 전위는 도체구 밖에서 점전하의 전위와 같고, 내부에서는 일정한 값 $V_1 (a) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 a}$로 주어진다. 그리고 점쌍극자의 전하분포가

$$ \rho_\text{dipole} (\vec{r}) = \lim_{\substack{h\to 0\\qh=const=p}} q \left( \delta (\vec{r}-\vec{d}) - \delta (\vec{r}- \vec{d}+ h \hat{p})\right) $$

$$ =\lim_{\substack{h\to 0\\qh=const=p}}  -qh\hat{p} \cdot \nabla \delta(\vec{r}-\vec{d}) $$

$$=-\vec{p} \cdot \nabla \delta (\vec{r} - \vec{d}) $$로 표현되고, 우리가 구하려는 구성 2에서 도체구는 접지되어 있으므로 

$$ \int\rho_1 V_2 d^3x = 0$$ 그리고

$$ \int \rho_2 V_1 d^3x = \int_\text{sphere} \rho_2 V_1 d^3x + \int_\text{dipole} \rho_2 V_1 d^3x$$

$$ = V_1(a) \int_\text{sphere} \rho_2 d^3x + \int  \left(-\vec{p} \cdot \nabla \delta(\vec{r}-\vec{d} ) \right) V_1 d^3x $$

$$= V_1(a) Q_\text{sphere} + \int (\vec{p} \cdot \nabla V_1 ) \delta (\vec{r} - \vec{d}) d^3x$$

$$= V_1(a) Q _\text{sphere} - \vec{p}\cdot \vec{d} \frac{q}{4\pi\epsilon_0 d^3}$$

$$\to ~~ Q_\text{sphere} = \vec{p} \cdot\vec{d} \frac{a}{d^3}$$