별의 절반이 나머지 절반을 당기는 힘

질량 $M$이고 반지름 $R$인 별이 있다. 별 자체 중력은 별을 구성하는 물질을 중심 쪽으로 압축하는 힘으로 작용한다. 별이 한 점으로 붕괴되지 않기 위해서는 이 중력의 압축에 저항하는 압력이 있어야 한다. 별의 물질이 균일하게 분포한다면 이 압력은 중심에서 거리만의 함수일 것이다. 압력 $P(r)$은 어떻게 주어지는가? 

 

풀이: 반지름 $r$이고 두께가 $dr$인 별 내부의 미소구각를 고려할 때 안쪽에서 받는 압력($P(r):\text{outward}$)과 바깥쪽에서 받는 압력($P(r+dr): \text{inward}$)에 의한 힘의 차이가 구각에 작용하는 중력과 같아야 평형상태를 유지할 수 있다.

$$ \sum F_r = [-P(r+dr) + P(r) ] 4\pi r^2 - G\frac { \frac {4\pi r^3 \rho}{3} \times (4\pi r^2 dr \rho  ) }{r^2} =  0$$

$$\to~~~ -\frac {dP}{dr} = \frac {4\pi G \rho^2}{3} r~~~\text {and}~~~ P(R)=0$$

$$\therefore~~ P(r) = \frac {2\pi G\rho}{3} (R^2  - r^2)=\frac {3GM^2}{8\pi R^4} \left [ 1-\left(\frac {r}{R}\right)^2 \right]$$

압력은 어느 방향에나 작용하므로 이를 적도면에 적용하면 별을 절반으로 나누었을 때 서로 밀어내는 압력을 찾을 수 있고, 이 값은 별의 반쪽이 나머지 반쪽을 잡아당기는 힘과 같다.

$$ F_c = \int_0^R P(r) 2\pi rdr = \frac {3GM^2}{ 16R^2}$$

그리고 적도면을 4등분할 때 각 부분에 작용하는 힘은 대칭성에 의해 $F_c/4$이다. 별을 8 분할할 때 한 부분이 나머지 부분에서 받는 중력은 따라서

$$ F = \frac{F_c}{4} | \hat {i} + \hat {j} + \hat {k}| = \frac {\sqrt {3}}{4} F_c$$