물체가 반구에서 떨어지는 위치는?

반지름 $R$인 반구 꼭대기에 같은 질량의 물체가 놓여 있다. 마찰이 없을 때 수평 방향 충격을 살짝 주면 물체는 반구를 따라 미끄러지기 시작하고 반구는 반대로 밀리기 시작한다. 물체가 일정한 거리를 내려온 후 반구와 접촉이 없어지게 되는 데 어느 위치인가?

 

힌트(https://kipl.tistory.com/629): 물체가 수직방향에서 각도 $\theta$ 만큼 내려왔을 때 반구에서 떨어진다면, 이 순간 물체가 반구에 작용하는 수직항력은 0이 되고 이후 반구는 일정한 속도로 움직인다. 이 순간 반구의 왼쪽 방향 속도를 $V$, 그리고 물체의 접선방향 속도를 $u$(반구에서 보는 물체의 속도)라고 하자. 물체는 반구를 따라 원운동을 하므로 반구와 같이 움직이는 관찰자 입장(물체가 떨어지는 순간부터 관성계임)에서 순간적으로 원운동을 하는데, 수직항력이 사라지는 지점이므로 구심력은 중력의 중심성분 뿐이다.

$$ mg \cos \theta = \frac {m u^2}{R}~~\to~~ u^2 = Rg \cos \theta $$

수평방향 외력이 없으므로 운동량 보존법칙을 적용하면

$$  mV  =   m ( u \cos \theta - V)~~~\to ~~~ V= \frac {1}{2} u \cos \theta$$

또한 역학적에너지가 보존되므로 

$$ mgR ( 1-\cos \theta) = \frac {1}{2} mV^2 + \frac {1}{2} m ( u^2 + V^2 - 2uV \cos \theta)$$

$$\to ~~~2gR (1- \cos \theta) = 2V^2 + u^2 - 2uV \cos \theta$$

미지수가 $V$, $u$, $\theta$ 인데 식이 3개 있으므로 풀 수 있다. 정리하면

$$ \cos^3 \theta - 6 \cos \theta +4 =0$$

$$\to~~~\cos \theta = \sqrt{3}-1~~~\text{or}~~~ \theta = 42.94^\circ$$