볼링공이 점프없이 경사면을 내려갈 최대속력은?

내려가는 경사면로가 있는 바닥을 굴러가는 볼링공(반지름 $R$)의 속력이 너무 크면 경사로 입구에서 점프를 할 수 있다. 이런 점프가 일어나지 않을 최대속력은? 볼링공은 미끄러짐이 없이 구르기만 한다.

힌트: 볼링공이 경사로 입구의 뾰족한 부분에 튀지 않는 경우 그 점을 기준으로 질량중심은 원운동을 하게 된다. 수직에 대한 중심의 회전각이 $\theta$일 때 공의 속력을 $v$라면 공의 회전운동에 관여하는 구심력은 수직항력과 중력 중심성분이므로

$$ \sum F_c = mg \cos \theta - N = \frac {mv^2}{R}$$ 

공의 속력은 역학적 에너지 보존을 이용하면 (공의 운동에너지: $K=\frac{1}{2} mv^2  + \frac {1}{2} I \omega^2 = \frac {7}{10} mv^2$)

$$ \frac {7}{10}mv^2 - \frac{7}{10} mv_0 ^2 = mgR(1- \cos \theta)$$

$$ \to~~ v^2 = v_0^2 + \frac {10}{7} gR (1 - \cos \theta)$$

따라서 수직항력은 $$ N =\frac {mg}{7}( 17 \cos \theta - 10) - \frac {mv_0^2}{R} $$

점프하지 않으려면 $N\ge0$이어야 하므로 

$$ v_0 \le \sqrt {\frac {gR}{7}(17\cos \theta -  10)}$$

이 식이 $0\le \theta \le \theta_0$에 대해서 성립해야 하므로 

$$ v_0\le \sqrt{\frac{gR}{7}(17\cos \theta _0 -  10)}$$