막대가 움직이기 시작하는 순간 두 줄의 장력은?

그림과 같이 두 줄로 연결된 막대가 있다. 막대가 운동을 시작하는 순간 두 줄에 걸리는 장력은?

힌트: 막대의 질량중심은 원운동을 하는데 출발속도가 없으므로 처음 가속도는 접선가속도만 존재한다. 수평방향과 수직방향 운동방정식을 쓰면

$$ \sum F_x = (T_L + T_R) \cos \theta = ma \sin \theta$$

$$ \sum F_y = mg - (T_L + T_R) \sin \theta = ma \cos \theta$$

이므로 이 두식을 풀면

$$ a = g \cos \theta $$

$T_L$과 $T_R$이 합으로만 표현되어 있으므로 추가적인 조건이 있어야 한다. 이는 막대가 질량중심에 대한 회전운동이 0이므로 질량중심에 대한 토크가 0이어야 함을 의미한다. 따라서

$$ T_L   \sin \theta : T_R \sin \theta = 2:1~~~\to~~~T_L= 2T_R$$

$$T_R = \frac{1}{3} g \sin \theta$$