원형트랙에서 가능한 최대속력에 도달하는데 필요한 거리는?

반지름 $R$인 원형트랙을 돌기 위해서 정지상태에서 출발하는 오토바이가 있다. 원형트랙을 미끄러지지 않고 돌 수 있는 최대속력에 도달하기 위해서는 최소한 얼마나 움직여야 하는가? 오토바이와 트랙과의 정지마찰계수는 $\mu$이다.

힌트: 오토바이가 받을 수 있는 최대힘은 트랙과의 정지마찰력이다. 따라서 가능한 최대가속도는 $a=\mu g$이다. 그런데 오토바이는 일정한 속력에 도달하기 전에는 원형트랙을 돌기 때문에 생기는 구심가속도($a_c = v^2/R$) 이외에도 속력을 증가시키기 위해서 접선가속도($a_t = dv/dt$)도 필요하다. 출발시점에서는 접선가속도만 있고 최대속력에 도달하면 구심가속도만 있게 된다. 따라서 최대속력은 $\mu g = v_\text{max}^2/R$로 구해진다. 접선방향과 가속도 벡터의 사이각을 $\phi$라면 처음에서는 접선가속도 성분만 있으므로 $\phi=0$이고, 최대속력에 도달하면 구심가속도 성분만 있으므로 $\phi=\frac {\pi}{2}$가 된다.

$$ a_t = \frac {dv}{dt} = \mu g  \cos \phi ,~~~a_c = \frac {v^2}{R} = \mu g \sin \phi$$두 번째 식을 미분하면 $$\mu g \cos \phi \frac {d\phi}{dt} = \frac {2v}{R} \frac {dv}{dt}$$이므로 $$ \frac {d\phi}{dt} = \frac {2v}{R} = 2 \omega = 2 \frac {d\theta}{dt}$$여기서 $\omega$는 각속도이고, $\theta$는 회전각이다. 이 식을 출발에서 최대속력에 도달할 시간까지 적분하면$$\Delta \phi = 2\Delta \theta~~~\to ~~~\Delta \theta = \frac {\Delta \phi}{2}= \frac {\pi}{2}$$이므로 출발에서 최대속력에 이르는 동안 움직여야 할 호의 최소길이는 $$\Delta s = R \Delta \theta =\frac {\pi R}{4}$$