현수선 가장 아래에서 고리의 가속도는?

길이 $L$인 균일한 줄(선밀도 $\lambda$)의 양끝을 수평으로 일정한 거리만큼 떨어진 벽의 두 지점에 고정하였다. 고정 위치에서 줄이 수평과 이루는 각은 $\theta$이고 줄의 가장 아래는 $d$만큼 내려가 있다. 줄의 한쪽 끝에서 가벼운 고리가 미끄러지는 운동을 한다.  고리가 처진 줄의 맨 아래에 내려왔을 때 가속도는? 단, 고리는 매우 가벼워서 줄의 처짐에 영향을 주지 않고, 마찰은 무시할 수 있다. 

힌트:  고리가 줄의 맨 아래에 왔을 때 고리에 작용하는 힘은 수직항력과 중력 뿐이고, 이 두 힘의 합력이 구심력 역할을 한다. 따라서 처진 줄의 가장 아래에서 곡률을 구해야 한다. 양끝이 고정된 줄은 catenary 모양을 한다. 줄의 고정 위치에서 줄이 수평과 이루는 각도가 $\theta$이고 줄의 장력이 $T_0$이라면 양끝에서 장력의 수평성분이 줄 전체 무게를 지탱해야 하므로

$$ 2T_0 \sin \theta = \lambda g L~~~\to~~~  T_0 = \frac {\lambda gL }{2 \sin \theta}$$또한 맨 아래에서 장력(수평방향)을 $T$라면 줄의 수평성분방향의 운동이 없으므로 

$$ T = T_0 \cos \theta  = \frac{\lambda gL \cot \theta}{2}$$

줄의 맨 아래지점에서 곡률반지름을 $R$이라면 그 지점을 중심으로 하는 미소 부분에 작용하는 장력의 수직성분이 그 부분의 무게를 지탱하므로

$$ 2T \sin \frac{d\theta}{2} =\lambda R d \theta~~~\to ~~~ T = \lambda R g $$ 앞서 구한 장력 $T$와 비교하면 가장 아래 지점에서 줄의 곡률 반지름이

$$R = \frac{ L}{2\tan \theta } $$

고리가 맨 아래지점에 도달했을 때 속도는 $v = \sqrt {2gd}$이므로 가속도는 

$$ a_c = \frac{v^2}{R} = \frac {4 gd}{L} \tan \theta$$