회전하는 고리에서 운동하는 구슬

Hoop에 꿰어진 질량 $m$인 작은 구슬이 마찰 없이 운동을 할 수 있다. 이 hoop을 수직축에 대해서 각속도 $\omega$로 일정하게 회전을 시킬 때 구슬의 운동방정식을 분석하자.

 

풀이: Euler-Lagrange 방정식을 이용하는 것이 편하지만 뉴턴의 운동방정식을 이용해서도 구할 수 있다. hoop와 같이 회전하는 계에서 보면 구슬은 hoop를 따라 가속 원운동을 한다. 접선 방향으로 작용하는 힘은 중력의 접선성분 $mg \sin \theta~(\theta \text {-감소방향})$와 관성력인 원심력의 접선성분 $mR \sin \theta \omega^2 \cos \theta~(\theta \text {-증가방향})$을 받는다. 따라서 접선방향의 운동방정식은 

$$ mR \ddot\theta = - mg \sin \theta + mR \sin \theta \omega^2 \cos \theta$$

이 방정식은 $\theta(t) = const$인 해를 가질 수 있는데 위 방정식에서 $\ddot\theta=0$으로 놓으면

$$ \sin \theta ( -g + R\omega^2 \cos \theta) = 0$$에서 $$\theta = 0, ~\pi ,~~\text{and}~~\cos \theta_0 =\frac{g}{ R \omega^2 }$$

마지막 평형위치는  $\omega> \sqrt{g/R}= \omega_c$보다 큰 경우에서 만들어지고, 이 위치에서는 수직항력과 중력의 합력이 구슬의 구심력과 같게 된다.

먼저 $\theta = \pi$는 구슬이 고리의 맨 꼭대기에 올라가 경우이고 평형점에서 살짝 벗어났을 때 구슬의 운동을 알아보기 위해 $\theta(t) = \pi - x(t)~~(|x(t)| \ll 1)$로 놓으면

$$ \ddot x = (\omega_c^2 + \omega^2 ) x $$이므로 $\theta =\pi$는 $\omega$에 무관하게 불안정 평형점이 된다. 그리고 $\theta = 0$인 평형위치는 구슬이 고리의 맨 아래에 놓인 경우로, 이 위치의 안정성을 분석하기 위해 $\theta = x, ~|x| \ll 1$로 놓으면

$$ \ddot x = - ( \omega^2 - \omega_c^2 ) x$$

이므로 $ \omega < \omega_c$일 때는 안정평형점이고 진동의 주기는 

$$  T  /T_c = \frac{1}{\sqrt{1- (\omega / \omega_c)^2 }} $$으로 주어진다. 반대로 $\omega > \omega_c$이면 $\theta  = 0$은 불안정평형 위치가 된다. 마지막으로 $\theta_0 = \arccos (\omega_c/\omega)^2$로 주어지는 평형위치의 안정성은 

$\theta = \theta_0 + x,~|x|\ll 1$로 놓으면

$$ \ddot x = - \frac{\omega^4  - \omega_c^4}{\omega^2}x$$로 주어지므로 안정평형점임을 알 수 있고($\omega > \omega_c$ 만 의미있음) 진동의 주기는

$$ T /T_c= \frac{  \omega/\omega_c }{\sqrt{(\omega/\omega_c)^4 -1}}$$으로 주어진다.