흔들리는 추의 각진동수는?

그림과 같이 마찰이 없는 평면에 생긴 구멍을 통해 두 물체 A($m$), B($M$)가 줄로 연결되어 있고 A가 반지름 $r$인 원을 일정한 각속도 $\omega_0$로 회전을 한다. 이제 물체 B을 살짝 아래로 당겼다가 놓으면 위-아래로 진동을 하게 된다. 이 진동의 주기를 구하라.

 

힌트: 반지름 $r_0$인 원운동할 때는 장력이 A의 구심력 역할을 한다. 따라서

$$ \text{평형상태:}~~~Mg= T _0= m \omega_0^2 r_0$$

반지름이 $\Delta r$(평형위치에서 B의 변위 증가분으로 $d^2\Delta r/dt^2 = a$) 만큼 줄어들었을 때 B의 가속도를 $a$라면 B의 운동방정식은 

$$ Mg -  T = Ma$$이고 A는 각속도가 변하는데 이 과정에서 각운동량이 보존되므로 변하는 각속도를 구할 수 있다.

$$ m r^2 \omega = m (r_0 -\Delta r) ^2 \omega ~~~\to~~~\omega = \frac {\omega_0 }{(1- \Delta r/r_0)^2 }$$

그리고 A가 중심방향의 가속도 $a_A = a + \omega  ^2 (r-\Delta r) $를 가지므로 운동방정식은

$$ T   =  m \left(  a + \omega ^2 r_0(1- \Delta r/r_0) \right) $$

$$ = m \left( a + \omega_0^2 \frac{r_0  }{(1- \Delta r/r_0)^3} \right) \approx m \left( a  + \omega_0^2r_0 + 3\omega_0^2 \Delta r\right)  $$여기서 $|\Delta r |\ll r_0$임을 사용했다. $T=M(g-a)$이므로

$$ (M+m)a = - 3m \omega_0^2 \Delta r$$이므로 가속도가 변위의 음수에 비례함을 얻을 수 있고, 이는 단순조화운동임을 의미한다. 그리고 이 단순조화진동의 각진동수는

$$ \omega = \omega_0 \sqrt {\frac {3m }{m+M}}$$

다른 방법으로는 https://kipl.tistory.com/760에서의 결과를 이용해도 된다.

회전하는 물체에 연결된 추의 가속도는?