떨어지지 않으려면 얼마의 속도로 줄을 당겨야 하는가?

도르래에 선밀도가 $\lambda$인 충분히 줄이 걸쳐있고(바닥에 쌓인 줄의 길이는 충분하다), 줄의 중간에 원숭이가 아래로 내려가지 않도록 하기 위해서 줄을 아래로 일정한 속도로 당긴다. 얼마의 속도로 당겨야 하는가? 

힌트: 줄 자체의 무게는 도르래 양쪽에 같은 길이의 줄이 늘어져 있으므로 고려할 필요가 없다. 원숭이가 아래로 내려가지 않게 하기 위해서는 줄을 아래로 당겨야 한다. 이 힘의 반작용이 원숭이의 중력과 같으면 원숭이는 줄의 중간에서 일정한 높이를 유지하면서 있을 수 있다. 줄이 일정한 속도 $v$로 움직이면 오른쪽 바닥에 정지해 있는 줄이 속도 0에서 $v$로 변하게 되는데 이 과정에서 필요한 impulsive force은 $T= v dm/dt = \lambda v^2 $이다. 이 힘이 원숭이의 무게와 같으면 원숭이는 제자리에 정지상태를 유지할 수 있다.

$$  mg = \lambda v^2 ~~~~\to~~~~ v = \sqrt {\frac {mg}{\lambda}}$$