Geometry & Recognition

(1) 줄을 자른 직전의 줄의 장력은?

- 각 줄은 막대 무게의 절반을 부담한다.

(2) 줄을 자른 직후의 잘리지 않은 줄에 걸리는 장력은?(막대가 여전히 나란한 상태)

- 막대에 작용하는 힘: 장력(윗방향), 중력(아래 방향);

- 중력이 막대의 왼쪽 끝을 축으로 회전시키려는 토크를 만든다.

막대의 회전은 왼쪽 끝을 기준으로 하거나 또는 질량중심을 기준으로 할 수 도 있다. 어느 쪽으로 보나 회전각은 동일하다. 왼쪽 끝을 기준으로 할 때 회전 방정식 (이 경우 중력만 시계방향으로 회전시키는 토크에 기여함)

이번에는 질량중심에 대한 회전 방정식을 고려하면 (이 경우 장력만 시계방향으로 회전시킨 토크에 기여)

두 회전 방정식을 비교하면 

즉, 장력이 처음보다 절반으로 줄어든다(오른쪽 줄이 없어지면 전체 질량을 다 견뎌야 할 것 같지만, 실제로는 원래보다 절반으로 줄어든다)

점검: 질량중심의 운동을 보면 장력과 중력이 작용하므로

그런데 회전운동에서 회전 각속도를 구할 수 있고 이를 이용해서 구한 질량중심 가속도와 비교하면 앞의 계산이 옳음을 체크할 수 있다:

이후 막대는 어떤 방식으로 움직이게 될까?

자가 넘어지는 것은 자(+지우개)의 무게에 의한 토크 때문이다. 그러나 토크를 주더라도 물체의 회전 관성에 따라 회전 속력의 변화율이 달라진다. 회전 관성이 클수록 회전상태를 변화시키기가 어렵다. (회전 관성에서 왜 관성이라 단어가 붙었는지에 대한 이유다)

물체를 회전시키려는 토크는 회전축에서 무게중심까지의 거리에 비례하지만, 물체가 현재의 운동 상태를 유지하려는 경향을 나타내는 회전 관성은 회전축에서 무게중심까지의 거리의 제곱에 비례한다. 따라서 무게중심이 회전축에서 멀리 떨어진 경우가 회전 속력의 변화가 더디게 된다. 이는 망치를 손바닥 위에 세우려고 할 때 머리를 손바닥에 위치하게 세우는 것보다 손잡이 끝을 손바닥에 놓고 세우기가 더 수월한 이치와 같다. 정량적인 설명도 가능하다.

중간 그림: 실패의 회전관성을 $I=\gamma mR^2$이라고 하면 일반적으로 $0<\gamma \le 1$이다. 마찰력의 방향이 반드시 중심의 이동과 반대로 작용하지 않으므로 사전에 마찰력의 방향을 바로 결정할 수 없다. 물체가 미끄러짐이 없이 구르는 경우는 다른 방법으로 마찰력을 결정할 수 있는 좋은 방법이 있다. 구르는 경우는 접촉점에 대한 순간적인 회전운동으로도 설명된다. 이 경우 마찰력은 토크에 기여하지 않으므로 실패의 운동식은

$$  I_{contact} \alpha = \sum \tau_{contact} = T(R-b),\quad (b=\text{radius of inner cyliner})$$

따라서 물체의 질량중심 가속도는 $(\tau_{contact} = (1+\gamma) mR^2)$ 

$$ a = R\alpha = \frac{1-b/R}{1+\gamma} \frac{T}{m}< \frac{T}{m}$$

질량중심의 가속도를 결정하는 외력은 장력과 마찰력인데, 장력만 고려할 때 가속도 $\frac{T}{m}$보다 작으므로 마찰력은 장력과 반대방향이어야 한다.