턱을 오르는 공?

볼링공(반지름: $R$, 회전관성: $\frac{2}{5} mR^2$)이 굴러가다가 턱에 부딪치는 경우를 보자. 충돌이 비탄성적이라면 공은 턱(높이: $h$)을 기준으로 회전해서 턱 위로 올라갈 수 있다. 물론 부딪치기 직전 속도가 너무 작으면 오를 수 없고, 너무 크면 위로 튄다. 어떤 조건일 때 튀지 않고 턱 위로 올라갈 수 있을까?

1. 충돌 전후로 턱에 대한 각운동량이 보존되므로 충돌 직후 각속도 $\omega$는 충돌 전 속도($v_0$)를 알면 구할 수 있다.

$$I \left( \frac{v_0}{R} \right) + mv _0(R-h) = (I + mR^2) \omega$$

$$ \to ~~\omega= \left(  1 - \frac{5h}{7R}\right) \frac{v_0}{R}$$

2. 역학적 에너지 보존을 이용하면 공이 턱에 완전히 올라서기 위해서는 충돌 직후 각속도 $\omega$가  일정한 크기 이상이어야 한다:

$$\frac{1}{2} (I+ mR^2) \omega^2  \ge  mgh$$

$$ \to ~~R \omega  \ge \sqrt{\frac{10}{7 }gh}$$

$$\text{or}~~ v_0 \ge\frac{1}{1- 5h/7R} \sqrt{\frac{10}{7} gh}$$