Geometry & Recognition

$$ \lim _{\epsilon \to 0 }\frac{1}{x- i \epsilon} = \mathbf{P}\left( \frac{1}{x} \right)+ i\pi \delta (x)$$ 여기서 Cauchy principal value $\mathbf{P}  \left(\frac{1}{x} \right) $는 distribution의 개념으로 이해해야 한다. 즉, 충분히 smooth 하고 $|x|\to \infty$일 때 0으로 빠르게 수렴을 하는 임의의 함수 $g(x)$가 있을 때 $$ \mathbf{P} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x} g(x) dx = \lim_{\delta\to 0} \left( \int_{-\infty}^{-\delta} + \int_\delta ^\infty \right) \frac{1}{x} g(x)dx$$임을 의미한다. 우선 

$$  \lim_{\epsilon\to 0} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x-i\epsilon }g(x) dx = \lim_{\epsilon\to 0} \int_{-\infty} ^\infty \frac{x+ i \epsilon}{x^2 + \epsilon^2 } g(x) dx \\ =  \lim_{\epsilon\to 0 } \int_{-\infty}^\infty \frac{x}{x^2 + \epsilon^2} g(x) dx + i\epsilon  \lim_{\epsilon\to 0} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2 + \epsilon^2} g(x) dx$$

Note, 

$$ \int_{-\infty}^\infty \frac{x}{x^2 + \epsilon^2} g(x) dx = \left( \int_{-\infty}^{-\delta} + \int_{\delta}^\infty  \right) \frac{x}{x^2 + \epsilon^2} g(x) dx + \int_{-\delta}^\delta \frac{x}{x^2+\epsilon^2} g(x) dx $$

인데, 마지막 항은 $\delta \to 0$ 극한에서 $g(x)$는 $g(0)$로 근사할 수 있고, 이 경우 기함수 적분이므로 $0$에 수렴한다. 앞의 두 항은 $\epsilon$에 무관하게 잘 정의되는 적분으로 $\delta \to 0$인 극한에서 $1/x$의 Cauchuy principal value $$ \lim_{\epsilon\to0 } = \int_{-\infty}^\infty \frac{x}{x^2 + \epsilon^2} g(x) dx = \lim_{\epsilon\to0 \\ \delta \to 0} \left( \int_{-\infty}^{-\delta} + \int_{\delta}^\infty  \right) \frac{x}{x^2 + \epsilon^2} g(x) dx = \mathbf{P} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x} g(x)dx $$에 해당한다. 

적분식 $$ \epsilon \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2 + \epsilon^2 } g(x) dx$$는 $\frac{1}{x^2 + \epsilon^2}$ 때문에 $\epsilon\to 0$일 때 $x=0$ 근방에서 기여가 가장 크므로 

$$ \epsilon \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2 + \epsilon^2 } g(x) dx \approx \epsilon g(0) \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x^2 + \epsilon^2} dx = \epsilon g(0) \frac{\pi}{\epsilon} = \pi g(0)$$

따라서 

$$\lim _{\epsilon \to 0 } \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x- i \epsilon} g(x)dx = \mathbf{P} \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{x} g(x) dx + i\pi \int_{-\infty }^\infty \delta(x) g(x) dx$$ $\epsilon\to - \epsilon$인 경우까지 포함하면,

$$ \lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{x \mp i \epsilon } = \mathbf{P} \left(\frac{1}{x}\right)  \pm i \pi \delta (x)$$ 이 관계는 복소평면에서 contour 적분을 이용해서 보다 엄밀하게 보일 수 있다.