Shokhotski-Plemelj theorem

$$\underset{ϵ\to 0}{lim}\frac{1}{x-iϵ}=\mathbf{P}\left(\frac{1}{x}\right)+i\pi \delta (x)$$ 여기서 Cauchy principal value $\mathbf{P}\left(\frac{1}{x}\right)$는 distribution의 개념으로 이해해야 한다. 즉, 충분히 smooth 하고 $|x|\to \mathrm{\infty }$일 때 0으로 빠르게 수렴을 하는 임의의 함수 $g(x)$가 있을 때 $$\mathbf{P}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}g(x)dx=\underset{\delta \to 0}{lim}({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{-\delta }+{\int }_{\delta }^{\mathrm{\infty }})\frac{1}{x}g(x)dx$$임을 의미한다. 우선 

$$\begin{array}{c}\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x-iϵ}g(x)dx=\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x+iϵ}{x^2+{ϵ}^2}g(x)dx\\ =\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{x^2+{ϵ}^2}g(x)dx+iϵ\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2+{ϵ}^2}g(x)dx\end{array}$$

Note, 

$$\begin{array}{c}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{x^2+{ϵ}^2}g(x)dx\\ =({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{-\delta }+{\int }_{\delta }^{\mathrm{\infty }})\frac{x}{x^2+{ϵ}^2}g(x)dx\\ +{\int }_{-\delta }^{\delta }\frac{x}{x^2+{ϵ}^2}g(x)dx\end{array}$$

인데, 마지막 항은 $\delta \to 0$ 극한에서 $g(x)$는 $g(0)$로 근사할 수 있고, 이 경우 기함수 적분이므로 $0$에 수렴한다. 앞의 두 항은 $ϵ$에 무관하게 잘 정의되는 적분으로 $\delta \to 0$인 극한에서 $1/x$의 Cauchuy principal value

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{x^2+{ϵ}^2}g(x)dx\\ =\underset{ϵ\to 0 \\ \delta \to 0}{lim}({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{-\delta }+{\int }_{\delta }^{\mathrm{\infty }})\frac{x}{x^2+{ϵ}^2}g(x)dx\\ =\mathbf{P}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}g(x)dx\end{array} \end{gathered}$$에 해당한다. 

적분식 $$ϵ{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2+{ϵ}^2}g(x)dx$$는 $\frac{1}{x^2+{ϵ}^2}$ 때문에 $ϵ\to 0$일 때 $x=0$ 근방에서 기여가 가장 크므로 

$$ϵ{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2+{ϵ}^2}g(x)dx\approx ϵg(0){\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2+{ϵ}^2}dx=ϵg(0)\frac{\pi }{ϵ}=\pi g(0)$$

따라서 

$$\underset{ϵ\to 0}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x-iϵ}g(x)dx=\mathbf{P}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}g(x)dx+i\pi {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\delta (x)g(x)dx$$ $ϵ\to -ϵ$인 경우까지 포함하면,

$$\underset{ϵ\to 0}{lim}\frac{1}{x\mp iϵ}=\mathbf{P}\left(\frac{1}{x}\right)\pm i\pi \delta (x)$$ 이 관계는 복소평면에서 contour 적분을 이용해서 보다 엄밀하게 보일 수 있다.