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I=10log(1x)dxx f(z)=log(1z)z을 그림과 같은 경로를 따라 적분하자.

z=1이 branch point이므로 cut line을 그림처럼 선택하자. 그림의 폐경로 내에서 f(z)가 analytic하고  I가 실수값을 가지므로 (C1Ck)f(z)dz=0    I=ReC2+C3+Cϵ0+Cϵ1f(z)dz 경로 C2에서 z=iy (y:01)이므로

ReC2=Re10log(1iy)(idy)iy=Re10log(1iy)dyy=10log1+y2dyy=1410log(1+u)duu  (u=y2)=1410(log(1u2)ulog(1u)u)du=1810log(1t)dtt14I=18I

경로 C3에서 z=eiθ (θ:π20)

ReC3=Re0π/2log(1eiθ)(ieiθdθ)eiθ=Imπ/20log(1eiθ)dθ=π/20(θ2π2)dθ=3π216

경로 Cϵ0에서 z=ϵeiθ

Reπ/20log(1+ϵeiθ)(ieiθdθ)eiθ=π/20tan1(ϵsinθ1ϵcosθ)dθ0

이므로 기여가 없고 마찬가지로 경로 Cϵ1에서 기여가 없다. 따라서

I=18I3π216    10log(1x)dxx=π26

 

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