I=∫10log(1−x)dxx f(z)=log(1−z)z을 그림과 같은 경로를 따라 적분하자.
![](http://t1.daumcdn.net/tistory_admin/static/images/xBoxReplace_250.png)
z=1이 branch point이므로 cut line을 그림처럼 선택하자. 그림의 폐경로 내에서 f(z)가 analytic하고 I가 실수값을 가지므로 (∫C1−∑′∫Ck)f(z)dz=0 → I=Re∫C2+C3+Cϵ0+Cϵ1f(z)dz 경로 C2에서 z=iy (y:0→1)이므로
Re∫C2=Re∫10log(1−iy)(idy)iy=Re∫10log(1−iy)dyy=∫10log√1+y2dyy=14∫10log(1+u)duu (←u=y2)=14∫10(log(1−u2)u−log(1−u)u)du=18∫10log(1−t)dtt−14I=−18I
경로 C3에서 z=eiθ (θ:π2→0)
Re∫C3=Re∫0π/2log(1−eiθ)(ieiθdθ)eiθ=Im∫π/20log(1−eiθ)dθ=∫π/20(θ2−π2)dθ=−3π216
경로 Cϵ0에서 z=ϵeiθ
Re∫π/20log(1+ϵeiθ)(ieiθdθ)eiθ=−∫π/20tan−1(ϵsinθ1−ϵcosθ)dθ→0
이므로 기여가 없고 마찬가지로 경로 Cϵ1에서 기여가 없다. 따라서
I=−18I−3π216 → ∫10log(1−x)dxx=−π26
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