The Savitzky–Golay method essentially performs a local polynomial regression (of degree $k$) on a series of values (of at least $k+1$ points which are treated as being equally spaced in the series) to determine the smoothed value for each point.

Savitzky–Golay 필터는 일정한 간격으로 주어진 데이터들이 있을 때(이들 데이터는 원래의 정보와 노이즈를 같이 포함한다), 각각의 점에서 주변의 점들을 가장 잘 피팅하는 $k$-차의 다항식을 최소자승법으로 찾아서 그 지점에서의 출력값을 결정하는 필터이다. 이 필터는 주어진 데이터에서의 극대나 극소, 또는 봉우리의 폭을 상대적으로 잘 보존한다.(주변 점들에 동등한 가중치를 주는 Moving Average Filter와 비교해 볼 수 있다).

간단한 예로, 2차의 다항식과 5개의 데이터 점

$$\{ (-2, d_0), (-1, d_1), (0, d_2), (1, d_3), (2, d_4)\}$$

을 이용해서 중앙에서의 값을 결정하는 방법을 살펴보자. 사용하려고 하는 다항식은

$$p(x)= a_0+ a_1 x + a_2 x^2$$

이다. 다항식의 계수는 다항식의 값과 실제 데이터의 값과의 차이를 최소화시키도록 선택해야 한다. 즉, 최소자승의 원리를 적용하여서 구하면 된다. 계산된 다항식의 값과 실제 데이터 값 사이의 차의 제곱을 구하면:

$$L = |a_0-2a_1 + 4a_2 -d_0|^2 +|a_0 -a_1 + a_2 -d |^2 + |a_0 -d_0|^2 \\+ |a_0 + a_1 + a_2 -d_3|^2 + |a_0 + 2 a_1 + 4 a_2 -d_4|^2$$

이 식의 $a_0, a_1, a_2$에 대한 극값을 가질 조건은 $$5 a_0+ 10 a_2 = d_0+ d_1 + d_2 + d_3 + d_4 \\ 10 a_1 = -2 d_0 – d_1 + d_3 + 2 d_4 \\ 10 a_0+ 34 a_2= 4d_0 + d_1+ d_3+ 4d_4$$

이 식을 만족시키는 $a_0$를 구하면, 필터의 출력(원도 중앙에서 값)이 결정된다.

$$\text{필터 출력} =a_0 = (-3d_0 + 12 d_1 + 17 d_2 + 12 d_3 - 3 d_4)/35$$

위에서 계수 $a_0$, $a_1$, $a_2$를 결정하는 방정식은 행렬로 정리하면 아래의 식과 같이 표현할 수 있다. 

좌변의 5행 3열 행렬을 $\mathbf{A}$, ${\mathbf{a}}=[a_0, a_1, a_2]^T$, ${\mathbf{d}}=[d_0, d_1, d_2, d_3, d_4]^T$로 놓으면, 이 행렬방정식은 $\mathbf{ A.a = d}$ 형태로 쓸 수 있다. $\mathbf{A}$가 정방행렬이 아니므로 역행렬을 바로 구할 수 없지만, $|\mathbf{ A \cdot a - d} |^2$을 최소로 하는 최소제곱해는
$$\bf (A^T\cdot A)\cdot a = A^T \cdot d$$를 만족시켜야 하므로 

$$\bf a = (A^T\cdot A)^{-1} \cdot (A^T \cdot d)$$로 주어짐을 알 수 있다.

이 식은 임의의 $k$-차 다항식을 이용한 경우에도 사용할 수 있다. 이 경우 행렬 $\bf A^T \cdot A$는 $(k+1)\times (k+1)$의 대칭행렬이 된다. 행렬 $\bf A$는 다항식의 찻수와 피팅에 사용이 될 데이터의 구간의 크기가 주어지면 정해지므로, 윗 식에서 $({\bf A}^T\cdot {\bf A})^{-1}\cdot {\bf A}^T$의 첫 행 ($a_0$을 $d$로 표현하는 식의 계수들)을 구하면 코드 내에서 결과를 lookup table로 만들어서 사용할 수 있다. 아래 표는 mathematica 를 이용해서 윈도 크기가 7 (7개 점)인 경우 2차 다항식을 사용할 때 계수를 구하는 과정이다.

 


2차 다항식일 때, 같은 방식으로 다양한 윈도 크기에 따른 계수를 구할 수 있다.
*크기($n$)에 따른 필터값 결정계수 (중앙에 대해 좌우대칭이다);
\begin{align} n=5;\quad &W[~] = \{-3, 12, \mathbf{17}, 12, -3\};\\ n=7;\quad &W[~] = \{-2, 3,  6, \mathbf{7}, 6, 3, -2\};\\ n=9;\quad &W[~] = \{-21, 14, 39, 54, \mathbf{59}, 54, 39, 14, -21\}; \\n=11;\quad&W[~]=\{-36,9,44,69,84,\mathbf{89},84,69,44,9,-36\};\\ n=13;\quad &W[~]=\{13,-11,0,9,16,21,24,\mathbf{25},24,21,16,9,0,-11,13\}\end{align} 

$$\text{필터 출력} =  \frac{\sum_i W[i]d[i]}{\sum_i W[i]}$$

int SavitzkyGolayFilter(std::vector<double>& data, double W[], int wsz, 
                        std::vector<double>& out) {
    int hwsz = wsz >> 1;
    wsz = (hwsz<<1) + 1;
    std::vector<double> data_pad(data.size() + 2 * hwsz);
    // reflective boundary conditions;   
    // [hw]...[1][0][1][2]...[hw]....[n-1+hw][n-2+hw][n-3+hw]....[n-1];
    for (int i = 0; i < hwsz; i++) { 
        data_pad[i]                  = data[hwsz-i];
        data_pad[i+data.size()+hwsz] = data[data.size()-2-i];
    }
    for (int i = data.size(); i-->0;) data_pad[i+hwsz] = data[i];
    //
    out.resize(data.size());
    double wsum = 0;
    for (int i = 0; i < wsz; i++) wsum += W[i]; 
    for (int i = data.size(); i-->0;) {
        double *pdata_pad = &data_pad[i];
        double fsum = 0;
        for (int k = 0; k < wsz; k++) fsum += pdata_pad[k] * W[k];
        out[i] = fsum / wsum;
    }
    return 1;
};

wsz=25, green=Savitzky-Golay, red=Moving average

 

 
 
 
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주어진 점집합에서 세 점을 뽑아서 만든 삼각형의 외접원에 다른 점이 하나도 포함하지 않으면 triangulation의 기본 삼각형 cell이 된다. 주어진 점으로 만들 수 있는 삼각형의 총개수가 ${}_nC_3$ 이므로, 기본 삼각형을 찾기 위해서는 이들 각각의 삼각형에 대서 나머지 점을 가지고 incircle 테스트를 수행해야 한다. 따라서 이 알고리즘은 ${\cal O}(n^4)$의 스텝이 필요하게 된다.

/*brute force attack*/
foreach point p1
      foreach point p2 
             foreach point p3
                   foreach point p4 
                          if(incircle(p1,p2,p3,p4))
                                 iscell=false;
                                 break ;
                   endfor;
                   if(iscell) 
                           add(triangle(p1,p2,p3));
              endfor;
       endfor;
endfor;

세 점에 의해서 형성이 되는 외접원은 대수적으로 쉽게 구할 수 있다. 여기서는 좀 더 기하학적인 접근을 쓰면, 평면의 점은 

$$(x, y)\rightarrow (x, y, z=x^2 + y^2)$$

의 mapping에 의해서 3차원 paraboloid 곡면의 점으로 옮길 수 있다. paraboloid 위의 세 점이 형성하는 3차원에서 평면이 paraboloid를 절단하는 곡선을 $x-y$ 평면으로 정사영하면 원이 된다는 것을 쉽게 알 수 있다.(incircle 포스팅 참조). 따라서 주어진 점이 세 점의 외접원에 포함되는가를 테스트하는 작업은 이 점을 paraboloid로 올렸을 때의 점과 (paraboloid로 올려진) 외접원의 3점이 형성하는 3차에서의 평면과 관계를 조사하는 것으로 바꿀 수 있다.

주어진 점이 외접원에 포함되면 paraboloid로 변환된 점은 평면의 아래에 놓이고, 외접원 밖의 점이면 평면 위에 놓이게 된다. 물론 외접원 위의 점은 평면에 놓인다. 따라서 평면의 법선 벡터 구하고, 삼각형의 한 꼭짓점을 기준한 주어진 점의 변위 벡터와 내적을 구하면 내적의 값은 평면 위인지, 아래인지 또는 평면에 놓인 점인가에 따라서 부호가 달라진다. 평면의 수직 벡터를 고정하면(예제는 아래 방향: $n_z < 0$), 평면 위에 놓인 점과의 내적은 음수, 평면 아래에 놓인 점과의 내적은 양수가 되고, 평면의 점과의 내적은 0이다. 

주어진 세 점이 만드는 외접원 내부(and 경계)에 들어가는 점이 없으면 이 삼각형을 선택한다.

** 참고 : Computational Geometry in C(2nd Edition) by Joseph O'Rourke

// input  x[0], x[1],....,x[n-1],
// input  y[0], y[1],....,y[n-1];
// calculate z[0]=x[0]^2+y[0]^2, z[1]=x[1]^2+y[1]^2,...;
int dt4(int n, double x[], double y[]) {
    double *z = new double [n] ;
    for(int i = 0; i < n; i++) 
        z[i] = x[i] * x[i] + y[i] * y[i] ;

    int ntri = 0;
    /* For each triple (i,j,k) */
    for (int i = 0; i < n - 2; i++ )
        for (int j = i + 1; j < n; j++ )
            for (int k = i + 1; k < n; k++ )
                if ( j != k ) {
                    /* Compute normal to triangle (i,j,k)::  outter_product(j-i, k-i)*/
                    double nx = (y[j] - y[i]) * (z[k] - z[i]) - (y[k] - y[i]) * (z[j] - z[i]); 
                    double ny = (x[k] - x[i]) * (z[j] - z[i]) - (x[j] - x[i]) * (z[k] - z[i]);
                    double nz = (x[j] - x[i]) * (y[k] - y[i]) - (x[k] - x[i]) * (y[j] - y[i]);
                    
                    /* Only examine faces on bottom of paraboloid: nz < 0. */
                    int flag = (nz < 0);
                    if (flag) {
                        /* For each other point m */
                        for (int m = 0; m < n; m++) {
                            /* Check if m above (i,j,k)::i점을 기준으로 m 과 
                            ** normal 간의 내적으로 체크(내적이 양수이면 
                            ** m이 원의 내부에 완전히 들어 있는 경우가 된다. 
                            ** 0인 경우는 원주상에 놓인 경우이므로 배제한다
                            */
                            flag &= ((x[m]-x[i])*nx + (y[m]-y[i])*ny + (z[m]-z[i])*nz <= 0);
                        }
                    }
                    if (flag) {
                        ntri++;
                        // (i, j, k)의 외접원이 다른 점을 포함하지 않으므로 이 삼각형은 
                        // 삼각분할의 한 면을 형성하게 된다.
                        // addTriangle(tri(i, j, k));
                    }
                }
    delete[] z ;
    return ntri;
}

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Posted by helloktk
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단순 다각형(simple polygon)의 삼각화 알고리즘의 다른 구현이다. 이전 구현과 같은 Ear-Clipping 알고리즘을 써서 구현한 것이다. 폴리곤의 각 꼭짓점을 돌면서 현재 꼭짓점의 직전과 직후의 꼭짓점들로 구성한 삼각형이 Ear인가를 체크해서 맞으면 이 삼각형을 추가하고, 현 꼭짓점은 주어진 폴리곤에서 제거를 한 후 나머지에 대해 테스트를 계속한다. $N$ 개의 꼭짓점을 가지는 단순 폴리곤의 경우에 $N-2$ 개의 삼각형으로 분해가 된다.

주어진 폴리곤이 시계방향으로 정렬된 경우는 반시계 방향으로 바꾸어서 정렬시킨 후 작업을 한다. 구현된 알고리즘의 복잡도는 ${\cal O}(N^2)$이다. 

last update: 2012.10.03;

static bool leftSide(CPoint *P, CPoint *A, CPoint *B) ;
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static bool leftSide(CPoint *P, CPoint *A, CPoint *B) {
    // P가 선분(A,B)의 왼쪽 또는 위에 있는가?
    return ((B->x - A->x) * (P->y - A->y) - ( B->y - A->y) * (P->x - A->x)) >=0;
}
static bool insideTriangle (CPoint *P, CPoint *A, CPoint *B, CPoint *C) ;
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static bool insideTriangle (CPoint *P, CPoint *A, CPoint *B, CPoint *C) {    
    // 반시계방향으로 정렬된 삼각형(A,B,C)의 안에 점 P가 있는가?(경계포함);
    if (!leftSide(P, A, B)) return false;
    if (!leftSide(P, B, C)) return false;
    if (!leftSide(P, C, A)) return false;
    return true;
};​
static bool earTest(int a, int b, int c, int nv, int *V, CPoint *points) ;
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static bool earTest(int a, int b, int c, int nv, int *V, CPoint *points) {
    // Check the triangle {V[a], V[b], V[c]} is an Ear; 
    CPoint *A  = &points[V[a]]; 
    CPoint *B  = &points[V[b]]; 
    CPoint *C  = &points[V[c]]; 
    // colinear(A->B->C) or concave인가를 체크; 반시계 방향으로 정렬된 입력점이므로 왼편에
    // 있으면 concave이므로 ear가 안된다;
    if (leftSide(B, A, C)) return false; 
    // 이미 만들어진 삼각형의 꼭지점이 포함되는지 체크한다;
    for (int k = 0; k < nv; ++k) {
        if ((k == a) || (k == b) || (k == c)) continue;
        if (insideTriangle(&points[V[k]], A, B, C)) return false;
    }
    return true;
};
static double polygonArea2(std::vector<CPoint>& pts) ;
더보기
static double polygonArea2(std::vector<CPoint>& pts) {
    double area2 = 0.;
    for (int p = pts.size() - 1, q = 0; q < pts.size(); p = q++)
        area2 += pts[p].x * pts[q].y - pts[p].y * pts[q].x;
    return (area2);
}
/* Polygon should be simple(ccw or cw);*/
bool polygonTriangulation(std::vector<CPoint>& pts, std::vector<Triangle>& triplets) {
    if (pts.size() < 3) return 0;
    triplets.clear(); triplets.reserve(pts.size() - 2);
    std::vector<int> V(pts.size());  // contains vertex indices;
    // 주어진 단순폴리곤을 반시계방향으로 정렬;
    if (polygonArea2(pts) > 0)
        for (int v = pts.size(); v-- > 0;) V[v] = v;
    else 
        for (int v = pts.size(), k = 0; v-- > 0;) V[v] = k++;
    // (pts.size()-2)개 꼭지점을 차례로 제거한다. 
    // 한개의 꼭지점이 제거될때마다 삼각형이 하나씩 생긴다;
    int nv = pts.size();
    int err_detect = 2 * nv;   /* error detection */
    for (int v = nv - 1; nv > 2;  ) {
        // 단순폴리곤이 아닌 경우에 무한루프를 도는 것을 방지;
        if (0 >= (err_detect--)) {
            TRACE("triangulate::ERROR\n");
            return false;
        }
        // <u,v,w>는 연속하는 세 꼭지점의 인덱스임;
        int u = v % nv; 
        v = (u + 1) % nv;
        int w = (v + 1) % nv;
        if (earTest(u, v, w, nv, &V[0], &pts[0])) { 
            triplets.push_back(Triangle(pts[V[u]], pts[V[v]], pts[V[w]]));  
            // 꼭지점 V[v]를 제거함;
            for (int k = v, j = k + 1; j < nv;) V[k++] = V[j++];
            --nv;       
            /* resest error detection counter */
            err_detect = 2 * nv;
        }
    }
    return triplets.size() == (pts.size() - 2); // # of triangle = (# of pts-2);
};

최적화 후:

 
 
 
 
 
 
 
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Posted by helloktk
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코드 제거: 2012년 9월 4일;  코드 구현: http://kipl.tistory.com/13

Polygon의 내부를 겹치지 않게 분할하는 것을 polygon의 삼각화라고 한다. N개의 꼭짓점이 있는 polygon의 경우에 N-2개의 서로 겹치지 않은 삼각형을 내부에 가지게 되며, polygon의 경계와 겹치지 않는  N-3개의 내부 경계 라인을(diagonal)을 가지게 된다. 

사용자 삽입 이미지


분할된 삼각형의 외접원 반지름에 편차가 심한 경우 삼각형의 면적이 균일하게 분할되지 않는다. 이런 경우 인접하는 두 개의 삼각형으로 형성된 사변형에서 현재의 대각 변에 교차되는 대각 변으로 재분할을 시도한다. 이렇게 새로이 만든 삼각형을 검사하여 이전보다 면적이 균일하면 이 분할을 사용한다. 물론 삼각형의 외접원의 반경이 작을 때는 거의 균일한 분할을 얻을 수 있다. Polygon Optimizing을 참고하기 바란다.

*simple 폴리곤이 아닌 경우는 아래의 링크를 참조하기 바란다.

1). O(n log(n)) 복잡도를 갖는 polygon triangulation algorithm;
==> 'Fast Polygon Triangulation based on Seidel's Algorithm'.
==> http://www.cs.unc.edu/~dm/CODE/GEM/chapter.html

2). Poly2Tri 홈페이지:
==> Fast and Robust Simple Polygon Triangulation With/Without Holes by Sweep Line Algorithm
==> http://www.mema.ucl.ac.be/~wu/Poly2Tri/poly2tri.html

 

 

triangulation notes: (몇 개의 사이트는 없어졌다).
Nice lecture notes:
http://arachne.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/godfried.toussaint.html
▶ Narkhede & Manocha's description/code of Seidel's alg:
http://www.cs.unc.edu/~dm/CODE/GEM/chapter.html
▶ Some school project notes w/ triangulation overview & diagrams:
http://www.mema.ucl.ac.be/~wu/FSA2716-2002/project.html
▶ Toussaint paper about sleeve-following, including interesting
description & opinion on various other algorithms:
http://citeseer.ist.psu.edu/toussaint91efficient.html
▶ Toussaint outline & links:
http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/cg-web.html
http://geometryalgorithms.com/algorithms.htm
▶ History Of Triangulation Algorithms
http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/cg-projects/97/Thierry/thierry507webprj/complexity.html
▶ Ear Cutting For Simple Polygons
http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/cg-projects/97/Ian//cutting_ears.html
▶ Intersections for a set of 2D segments
http://geometryalgorithms.com/Archive/algorithm_0108/algorithm_0108.htm
▶ Simple Polygon Triangulation
http://cgafaq.info/wiki/Simple_Polygon_Triangulation
▶ KKT O(n log log n) algo
http://portal.acm.org/citation.cfm?id=150693&dl=ACM&coll=portal&CFID=11111111&CFTOKEN=2222222
▶ Poly2Tri implemenation, good notes and looks like good code, sadly the
license is non-commercial only:(최근에 사이트가 존재하지 않음)
http://www.mema.ucl.ac.be/~wu/Poly2Tri/poly2tri.html
▶ FIST
http://www.cosy.sbg.ac.at/~held/projects/triang/triang.html
▶ Nice slides on monotone subdivision & triangulation:
http://www.cs.ucsb.edu/~suri/cs235/Triangulation.pdf

▶ Interesting forum post re monotone subdivision in Amanith:
http://www.amanith.org/forum/viewtopic.php?pid=43
 

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,

RANSAC Algorithm

Image Recognition 2008. 5. 24. 09:02

어떤 현상을 설명하는 이론 모델을 만들려면 현상에서 관측 데이터를 모아야 한다. 그런데 관측 데이터에는 모델에 대한 잘못된 가정이나 측정의 오차 등에서 생기는 여러 가지 형태의 노이즈가 들어 있게 마련이다. 이러한 노이즈는 모델을 정확히 예측하는 것을 방해한다. 모델 파라미터의 예측을 방해하는 데이터(outliners)가 들어 있는 관측 데이터로부터 어떻게 하면 모델을 구축할 수 있는가라는 질문에 대한 한 해결책을 RANSAC("RANdom SAmple Consensus") 알고리즘이 제공한다. 이 알고리즘은 1981년 Fischler과 Bolles에 의해서 제안되었다.

RANSAC 알고리즘에 들어가는 입력은 관측된 데이터, 관측 결과를 피팅하거나 설명할 수 있는 모델 파라미터, 그리고 신뢰성을 나타내는 파라미터를 필요로 한다.

RANSAC 알고리즘은 주어진 원본 데이터에서 일부를 임의로 선택하는 과정을 반복하여서 최적의 파라미터를 예측하는 프러시저의 형태를 가진다. 전체의 관측 데이터가 M개 있고, 모델 파라미터를 예측하는데 N개의 데이터가 필요한 경우, 알고리즘의 동작은

     1. 임의로 관측 데이터에서 N개의 부분 데이터를 선택한다.
     2. 선택 데이터를 (가상의) inlier로 생각하고 모델을 예측한다.
     3. 원본 데이터(M) 중에서 예측된 모델에 잘 맞는가를 체크한다. 잘 맞는 데이터 수를 K라고 한다.
     4. 만약에 K가 충분하면, 이 모델을 확정하고 알고리즘을 종료한다.
     5. 모델이 좋지 않으면 14 과정을  L번 반복한다.
     6. 충분한 반복 후에도 좋은 모델을 찾지 못하면 예측에 실패한 것으로 간주한다.

1. 임계값 K는 주어진 전체 데이터 중에서 어느 정도의 비율로 찾는 모델에 잘 맞는가로 판단하는 기준인데, 사용자가 결정해야 한다. 대략적으로 주어진 샘플에서 inlier의 비율을 Pg정도라고 생각되면 다음 정도로 잡으면 된다:

 
   K = M * (1- P
g)

2. 얼마나 많은 반복을 해야하는가? 주어진 관측 데이터에서 inlier일 확률이 Pg인 경우에 L번의 모델 예측 시도가 실패할 확률을 계산하여서 이것이 주어진 설정값, pfail 보다도 작은 경우에 모델 예측의 실패로 처리하므로,

  pfail   = L번의 모델예측 실패 확률
          = (한 번 시도가 실패할 확률)L
          = (1 - 한 번 시도가 성공할 확률))L
          = (1 - (랜덤 데이터가 모델을 예측할 확률)N))L
          = (1- (Pg) N)L

이 사실로부터 최대 반복 횟수는 
    
   L = log(pfail)/log(1-(Pg)N)

로 주어진다.
inlier가 반이 섞인 경우 Pg (=주어진 데이터중에서 inlier일 확률) = 0.5,
pfail = 0.01 인 경우, N = 3 (세 점만 있으면 모델 구성이 가능한 원의 피팅이 한 예)이면 최대 반복 횟수는 윗 식에 적용하면,
     
                   L = 35 회

RANSAC 알고리즘은 주어진 관측 데이터에 많은 outlier가 존재하더라도 매우 정확히 모델 파라미터를 예측할 수 있는 능력이 있는 robust 한 알고리즘이지만, 얼마나 많은 반복을 해야 하는가에 대한 상한 값이 제공되지 않는다(사용자가 pfail 를 설정한다). 따라서 사용자 설정에 의한 상한 값은 최적의 모델이 아닐 수 있다.

"The RANSAC procedure is opposite to that of conventional smoothing techniques: Rather than using as much of the data as possible to obtain an initial solution and then attempting to eliminate the invalid data points, RANSAC uses as small an initial data set as feasible and enlarges this set with consistent data when possible".

Martin A. Fischler and Robert C. Bolles (June 1981). "Random Sample Consensus: A Paradigm for Model Fitting with Applications to Image Analysis and Automated Cartography". Comm. of the ACM 24: 381–395.

예제 코드:
ransac을 이용한 라인 피팅: http://blog.naver.com/helloktk/80029006029
ransac을 이용한 원 피팅: http://kipl.tistory.com/32

 

RANSAC: Circle Fit

RANSAC 알고리즘을 써서 주어진 2차원 점집합에서 원을 추정한다. 원을 만들기 위해서는 최소한 3점이 필요하고, 또 일직선에 있지 않아야 한다. 이렇게 만들어진 원은 세 점을 꼭짓점으로 하는

kipl.tistory.com

ransac을 이용한 타원 피팅: kipl.tistory.com/110

 

RANSAC Ellipse Fitting

타원은 원뿔을 평면으로 잘랐을 때 생기는 곡선 중의 하나로 다음 이차 형식(quadratic form)으로 표현된다. . 이 이차 형식의 계수를 구하기 위해서는 타원 위의 5개의 서로 다른 점이 필요하다 $(a

kipl.tistory.com

 

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Posted by helloktk
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