Geometry & Recognition

$$I={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}\sqrt{\frac{x^3}{1-x}}dx=\pi (1-\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2})\approx 0.223113\times \pi$$

복소함수 

$$f(z)=\frac{1}{1+z^2}\sqrt{\frac{z^3}{1-z}}$$를 그림과 같은 경로에서 적분하자. Branch cut은 $z=0$과 $z=1$을  잇는 선분으로 선택하면 위상은 

$$-\pi \le \arg (z)\le \pi ,0\le \arg (1-z)\le 2\pi$$로 잡을 수 있다. 그러면

$$(\sum _k{\int }_{C_k}+{\int }_{C_{\mathrm{\infty }}})=2\pi i\times (\text{Res}(f(i))+\text{Res}f(i))$$

$C_1$에서 $$\begin{array}{c}z=x{e}^{i0}(x:0\to 1)\\ z-1=(1-x)e^{i\pi }\to 1-z=(1-x)e^{i2\pi }\\ {\int }_{C_1}={\int }_0^1\frac{1}{1+x^2}\sqrt{\frac{x^3}{1-x}}\frac{e^{i0}}{e^{i\pi }}dx=-I\end{array}$$

$C_3$에서 $$\begin{array}{c}z=x{e}^{i0}(x:1\to 0)\\ z-1=(1-x)e^{i\pi }\to 1-z=(1-x)e^{i0}\\ {\int }_{C_3}={\int }_1^0\frac{1}{1+x^2}\sqrt{\frac{x^3}{1-x}}\frac{e^{i0}}{e^{i0}}dx=-I\end{array}$$

그리고 $z=\mathrm{\infty }$에서 residue를 가지는데, 

$$\begin{gathered} f(z)=\frac{1}{iz}+\cdots \\ {\int }_{C_{\mathrm{\infty }}}=-2\pi i\times (-\frac{1}{i})=2\pi \end{gathered}$$이고 ${\int }_{C_2}\to 0$, ${\int }_{C_4}\to 0$이다. 그리고 $z=i$에서 residue는 

$$\begin{array}{c}z=e^{i\pi /2}\to \sqrt{z^3}=e^{i3\pi /4}\\ z-1=\sqrt{2}{e}^{i3\pi /4}\to 1-z=\sqrt{2}{e}^{i7\pi /4}\to \sqrt{1-z}=\sqrt{\sqrt{2}}{e}^{i7\pi /8}\\ \text{Res}f(i)=\frac{1}{i\sqrt{2\sqrt{2}}}{e}^{-i\pi /8}\end{array}$$ 또 $z=-i$에서 residue는 

$$\begin{array}{c}z=e^{-i\pi /2}\to \sqrt{z^3}=e^{-i3\pi /4}\\ z+1=\sqrt{2}{e}^{i5\pi /4}\to 1-z=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}\to \sqrt{1-z}=\sqrt{\sqrt{2}}{e}^{i\pi /8}\\ \text{Res}f(-i)=\frac{1}{i\sqrt{\sqrt{2}}}{e}^{i\pi /8}\end{array}$$이므로

$$\sum \text{Res}=\frac{1}{i\sqrt{\sqrt{2}}}\cos \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{i2}$$ 따라서 $$\begin{gathered} -2I+2\pi =2\pi i\times \frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{i2} \\ I=\pi (1-\frac{\sqrt{\sqrt{2}+1}}{2}) \end{gathered}$$