Geometry & Recognition

$$I =  \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \sqrt{\frac{x^3}{1-x}}dx  = \pi \left( 1 -\frac{\sqrt{\sqrt{2} +1}}{2} \right) \approx 0.223113\times \pi $$

복소함수 

$$ f(z) = \frac{1}{1+z^2} \sqrt{\frac{z^3}{1-z}}$$를 그림과 같은 경로에서 적분하자. Branch cut은 $z=0$과 $z=1$을  잇는 선분으로 선택하면 위상은 

$$ -\pi \le \arg(z) \le \pi, \quad 0\le \arg(1-z)\le 2\pi$$로 잡을 수 있다. 그러면

$$ \left(\sum_k \int_{C_k} + \int _{C_\infty} \right)  = 2\pi i \times \left(\text{Res}(f(i)) + \text{Res}f(i) \right)$$

$C_1$에서 $$z= x e^{i 0}~~(x:0 \to 1) \\ z-1 = (1-x)e^{i \pi} \to 1-z = (1-x) e^{i 2\pi} \\ \int_{C_1} = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \sqrt{ \frac{x^3}{1-x}}\frac{e^{i0}}{e^{i\pi}} dx = - I$$

$C_3$에서 $$z= xe^{i0}~~(x:1\to 0) \\ z-1 = (1-x) e^{i \pi} \to 1-z = (1-x) e^{i 0} \\ \int_{C_3} = \int_1^{0} \frac{1}{1+x^2} \sqrt{ \frac{x^3}{1-x}} \frac{e^{i0}}{e^{i0}} dx = -I$$

그리고 $z=\infty$에서 residue를 가지는데, 

$$ f(z) = \frac{1}{i z} + \cdots \\ \int_{C_\infty}  = - 2\pi i \times \left( -\frac{1}{i} \right) = 2\pi  $$이고 $\int_{C_2}\to 0$, $\int_{C_4} \to 0$이다. 그리고 $z= i $에서 residue는 

$$ z= e^{i\pi/2} \to \sqrt{z^3} = e^{i 3\pi/4} \\ z-1= \sqrt{2}e^{i 3\pi/4} \to 1-z= \sqrt{2} e^{i 7\pi/4} \to \sqrt{1-z}= \sqrt{\sqrt{2}} e^{i 7\pi/8} \\ \text{Res}f(i) = \frac{1}{i \sqrt{2\sqrt{2}} } e^{-i \pi/8}$$ 또 $z=-i$에서 residue는 

$$ z=e^{-i \pi/2}\to \sqrt{z^3} = e^{-i3\pi/4} \\z+1=\sqrt{2} e^{i 5\pi/4} \to 1-z= \sqrt{2} e^{i\pi/4}\to \sqrt{1-z} = \sqrt{\sqrt{2}} e^{i \pi/8} \\ \text{Res}f(-i) = \frac{1}{i \sqrt{\sqrt{2}}} e^{i \pi/8} $$이므로

$$ \sum \text{Res} = \frac{1}{ i\sqrt{\sqrt{2}}  } \cos \frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{\sqrt{2}+1} } {i 2}$$ 따라서 $$ -2I + 2\pi = 2\pi i \times \frac{  \sqrt{\sqrt{2}+1} }{i2} \\ I = \pi \left( 1 -\frac{\sqrt{\sqrt{2} + 1}}{2} \right)$$