f(t)=F−1[−iexp(−√1+ω2)ω√1−iω]주파수 domain에서 주어진 함수F(ω)=−ie−√1+ω2ω√1−iω의 역 Fourier transform을 복소평면에서의 경로적분으로 변환을 하자. t>0일 때는 eiωt가 발산하기 않도록 만들기 위해 upper half plane에 놓인 폐경로 Γ(ccw)을 고려해야 한다. 반대로 t<0일 때는 lower half plane의 폐곡선 Γ′(cw)에서 경로적분을 고려하면 된다. 그리고 ω=0에서의 singularity는 복소평면에서 ω=iϵ만큼 옮긴 후 계산을 하자.(lower half plane으로 옮기면 다른 결과를 얻는다. 어떻게 singularity를 옮기는가는 문제에 주어진 추가적인 조건을 예를 들면 causality 조건등을 만족시키는 방향으로 선택되어야 한다). Branch cut은 그림과 같이 선택한다. 그러면 위상은
−3π2≤arg(z−i)≤π2,−π2≤arg(z+i)≤3π2이다.

t>0일 때 upper half plane에서 정의된 폐경로 Γ에 대한 경로적분을 고려하자. Γ가 simple pole z=iϵ을 포함하므로 residue 정리에 의해서
∮Γ−ieizt−√1+z2dzz√1−iz=2πi×limϵ→0Res(z=iϵ)=2πe
따라서
f(t)=12π∫∞−∞F(ω)eiωtdω=−12π(∫1+∫2+∫3)F(z)dz+2πe
경로 1에서 z=yeiπ/2, z−i=(y−1)eiπ/2, z+i=(y+1)eiπ/2, (y:∞→1)이므로
√z2+1=i√y2−1√1−iz=√Rot−π/2(z+i)=√y+1→∫1=−i∫1∞e−yte−i√y2−1dyy√y+1=i∫∞1e−yte−i√y2−1y√y+1
경로 3에서 z=yeiπ/2, z−i=(y−1)e−i3π/2, z+i=(y+1)eiπ/2, (y:∞→1)이므로
√z2+1=−i√y2−1√1−iz=√y+1→∫3=−i∫∞1e−utei√y2−1dyy√y+1 그리고 경로 2는 z=ϵeiθ이므로 적분값이 0이 됨을 보일 수 있다. 따라서 t>0일 때는
t>0: f(t)=1e−1π∫∞1e−yty√y+1sin(√y2−1)dy
t<0일 때는 적분경로를 lower half plane의 폐곡선 Γ′으로 잡자. 그러면 Γ′ 내에서 F(z)eizt가 analytic하므로 ∮Γ′F(z)eiztdz=0 따라서, f(t)=12π∫∞−∞F(ω)eiωtdω=−12π(∫1′+∫2′+∫3′)F(z)dz
경로 1′에서 z=ye−iπ/2, z−i=(y+1)e−iπ/2, z+i=(y−1)e−iπ/2, (y:∞→1)이므로
√z2+1=−i√y2−1√1−iz=√Rot−π/2(z+i)=√y−1e−iπ/2=−i√y−1→∫1′=∫1∞eytei√y2−1dyy√y−1=−∫∞1eytei√y2−1dyy√y−1
경로 3′에서는 z=ye−iπ/2 , z−i=(y+1)e−iπ/2, z+i=(y−1)ei3π/2, (y:∞→1)이므로
√z2+1=i√y2−1√1−iz=√Rot−π/2(z+i)=√y−1eiπ/2=i√y−1→∫3′=−∫1∞eyte−i√y2−1dyy√y−1이다. 그리고 경로 2′에서는 적분이 0으로 수렴한다. 따라서
t<0: f(t)=1π∫∞1eyty√y−1cos(√y2−1)dy
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