Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

f(t)=F1[iexp(1+ω2)ω1iω]주파수 domain에서 주어진 함수F(ω)=ie1+ω2ω1iω역 Fourier transform을 복소평면에서의 경로적분으로 변환을 하자. t>0일 때는 eiωt가 발산하기 않도록 만들기 위해 upper half plane에 놓인 폐경로 Γ(ccw)을 고려해야 한다. 반대로 t<0일 때는 lower half plane의 폐곡선 Γ(cw)에서 경로적분을 고려하면 된다. 그리고 ω=0에서의 singularity는 복소평면에서 ω=iϵ만큼 옮긴 후 계산을 하자.(lower half plane으로 옮기면 다른 결과를 얻는다. 어떻게 singularity를 옮기는가는 문제에 주어진 추가적인 조건을 예를 들면 causality 조건등을 만족시키는 방향으로 선택되어야 한다). Branch cut은 그림과 같이 선택한다. 그러면 위상은 

3π2arg(zi)π2,π2arg(z+i)3π2이다.

t>0일 때  upper half plane에서 정의된 폐경로 Γ에 대한 경로적분을 고려하자. Γ가 simple pole z=iϵ을 포함하므로 residue 정리에 의해서 

Γieizt1+z2dzz1iz=2πi×limϵ0Res(z=iϵ)=2πe

따라서

f(t)=12πF(ω)eiωtdω=12π(1+2+3)F(z)dz+2πe

경로 1에서 z=yeiπ/2, zi=(y1)eiπ/2, z+i=(y+1)eiπ/2, (y:1)이므로 

z2+1=iy211iz=Rotπ/2(z+i)=y+11=i1eyteiy21dyyy+1=i1eyteiy21yy+1

경로 3에서 z=yeiπ/2, zi=(y1)ei3π/2, z+i=(y+1)eiπ/2, (y:1)이므로

z2+1=iy211iz=y+13=i1euteiy21dyyy+1 그리고 경로 2z=ϵeiθ이므로 적분값이 0이 됨을 보일 수 있다. 따라서 t>0일 때는

t>0: f(t)=1e1π1eytyy+1sin(y21)dy

t<0일 때는 적분경로를 lower half plane의 폐곡선 Γ으로 잡자. 그러면 Γ 내에서 F(z)eizt가 analytic하므로 ΓF(z)eiztdz=0 따라서, f(t)=12πF(ω)eiωtdω=12π(1+2+3)F(z)dz

경로 1에서 z=yeiπ/2, zi=(y+1)eiπ/2, z+i=(y1)eiπ/2, (y:1)이므로

z2+1=iy211iz=Rotπ/2(z+i)=y1eiπ/2=iy11=1eyteiy21dyyy1=1eyteiy21dyyy1

경로 3에서는 z=yeiπ/2 , zi=(y+1)eiπ/2, z+i=(y1)ei3π/2, (y:1)이므로

z2+1=iy211iz=Rotπ/2(z+i)=y1eiπ/2=iy13=1eyteiy21dyyy1이다. 그리고 경로 2에서는 적분이 0으로 수렴한다. 따라서

t<0: f(t)=1π1eytyy1cos(y21)dy



728x90
,