f(t)=F−1[−iexp(−√1+ω2)ω√1−iω]주파수 domain에서 주어진 함수F(ω)=−ie−√1+ω2ω√1−iω의 역 Fourier transform을 복소평면에서의 경로적분으로 변환을 하자. t>0일 때는 eiωt가 발산하기 않도록 만들기 위해 upper half plane에 놓인 폐경로 Γ(ccw)을 고려해야 한다. 반대로 t<0일 때는 lower half plane의 폐곡선 Γ′(cw)에서 경로적분을 고려하면 된다. 그리고 ω=0에서의 singularity는 복소평면에서 ω=iϵ만큼 옮긴 후 계산을 하자.(lower half plane으로 옮기면 다른 결과를 얻는다. 어떻게 singularity를 옮기는가는 문제에 주어진 추가적인 조건을 예를 들면 causality 조건등을 만족시키는 방향으로 선택되어야 한다). Branch cut은 그림과 같이 선택한다. 그러면 위상은
−3π2≤arg(z−i)≤π2,−π2≤arg(z+i)≤3π2이다.

t>0일 때 upper half plane에서 정의된 폐경로 Γ에 대한 경로적분을 고려하자. Γ가 simple pole z=iϵ을 포함하므로 residue 정리에 의해서
∮Γ−ieizt−√1+z2dzz√1−iz=2πi×lim
따라서
f(t) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty F(\omega) e^{i \omega t} d\omega = -\frac{1}{2\pi}\left( \int_{1} + \int_{2} + \int_{3}\right) F(z) dz+ \frac{2\pi}{e}
경로 1에서 z= ye^{i \pi/2}, z-i = (y - 1) e^{i \pi/2}, z+i = (y+1)e^{i \pi/2}, ~(y: \infty \to 1)이므로
\sqrt{z^2+1} = i \sqrt{y^2-1}\\ \sqrt{1-iz} = \sqrt{ \text{Rot}_{-\pi/2} ( z+i)} =\sqrt{ y+1} \\ \to \quad \int_{1} =-i \int_\infty^1 \frac{e^{-yt} e^{- i \sqrt{y^2 -1}} dy } {y \sqrt{ y+1}} =i \int_1^\infty \frac{ e^{-yt} e^{-i \sqrt{y^2-1}} }{y\sqrt{y+1}}
경로 3에서 z=y e^{i\pi/2}, z-i=(y-1) e^{-i3\pi/2} , z+i= (y+1) e^{i \pi/2}, ~(y: \infty\to 1)이므로
\sqrt{z^2+1}= -i \sqrt{y^2 -1} \\ \sqrt{1-iz} = \sqrt{y+1}\\ \to \quad \int_{3} = -i \int_{1}^\infty \frac{ e^{-ut} e^{i \sqrt{ y^2 -1}} dy}{ y \sqrt{ y+1} } 그리고 경로 2는 z=\epsilon e^{i \theta}이므로 적분값이 0이 됨을 보일 수 있다. 따라서 t>0일 때는
t>0: ~f(t) =\frac{1}{e} -\frac{1}{ {\pi}} \int_1^\infty \frac{ e^{-yt}} {y\sqrt{y+1}} \sin \left(\sqrt{y^2 -1} \right) dy
t<0일 때는 적분경로를 lower half plane의 폐곡선 \Gamma'으로 잡자. 그러면 \Gamma' 내에서 F(z)e^{i zt}가 analytic하므로 \oint _{\Gamma'} F(z) e^{i zt} dz=0 따라서, f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{i \omega t} d\omega=-\frac{1}{2\pi} \left( \int_{1'} + \int_{2'} +\int_{3'}\right) F(z) dz
경로 1'에서 z=y e^{-i\pi/2}, z-i = (y+1) e^{-i \pi/2}, z+i= ( y-1) e^{-i\pi/2},~(y:\infty\to1)이므로
\sqrt{ z^2+1} = -i \sqrt{ y^2 - 1} \\ \sqrt{1-iz} =\sqrt{\text{Rot}_{-\pi/2} (z+i)} = \sqrt{y-1} e^{-i\pi/2} = -i \sqrt{y-1} \\ \to \quad \int_{1'} = \int_\infty^1 \frac{e^{yt} e^{i \sqrt{y^2-1}}dy }{y\sqrt{y-1}} = - \int_1^\infty \frac{e ^{yt} e^{i\sqrt{y^2-1}} dy}{y\sqrt{y -1}}
경로 3'에서는 z=y e^{-i\pi/2} , z-i = (y+1) e^{-i \pi/2}, z+i= ( y-1) e^{i3\pi/2},~(y:\infty\to1)이므로
\sqrt{ z^2+1} = i \sqrt{ y^2 - 1} \\ \sqrt{1-iz} =\sqrt{\text{Rot}_{-\pi/2} (z+i)} = \sqrt{y-1} e^{i\pi/2} = i \sqrt{y-1} \\ \to\quad \int_{3'} = -\int_\infty^1 \frac{e^{yt} e^{-i\sqrt{y^2-1}}dy }{y\sqrt{y-1}} 이다. 그리고 경로 2'에서는 적분이 0으로 수렴한다. 따라서
t < 0:~f(t ) = \frac{1}{\pi} \int_1^\infty \frac{ e^{yt} }{y\sqrt{y -1}} \cos \left( \sqrt{y^2-1}\right)dy
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