f(t)=L−1[1s(s−1)exp(−√s−1s)](t)
그림과 같은 경로에서 ∮F(z)eztdz=0이므로
f(t)=12πi∫γ+i∞γ−i∞F(s)estds=−12πi∫Ceztz(z−1)exp(−√z−1z)dz

−π≤arg(z),arg(z−1)≤π
C1에서 z=ϵeiθ이므로
∫C1=0
C3에서 z=1+ϵeiθ (θ:π→−π),
∫C3eztz(z−1)exp(−√z−1z)dz=−2πiet
C2에서 z=xei0, z−1=(1−x)eiπ (x:0→1)이므로
∫C2=∫10extx(x−1)exp(−i√1−xx)dx
C4에서 z=xei0, z−1=(1−x)e−iπ (x:1→0)이므로
∫C4=∫01extx(x−1)exp(i√1−xx)dx
따라서 정리하면
f(t)=et+1π∫10extx(x−1)sin(√1−xx)dx=et[1+1π∫10e−yty(1−y)sin(√y1−y)dy]

728x90
'Mathematics' 카테고리의 다른 글
Inverse Laplace Transform을 이용한 무한 LC Ladder Circuit에서 Step Respose (0) | 2024.10.24 |
---|---|
Inverse Laplace Transform을 이용한 열방정식 해 (1) | 2024.10.23 |
Inverse Laplace Transform as Bromwich Integral-3 (0) | 2024.10.20 |
Inverse Laplace Transform as Bromwich Integral-2 (3) | 2024.10.20 |
Integration along a branch cut-028 (0) | 2024.10.19 |