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I=1log(x)dx(x1)3/2=2π

복소함수 f(z)=log(z)(z1)3/2을 그림의 경로에서 적분을 하자. 위상은 πarg(z)π,0arg(z1)2π로 잡는다.

C1에서 z=xei0,  log(z)=log(x)  (x:1)z1=(x1)ei0이므로

C1=1log(x)dx(x1)3/2=I

C2에서 z=xei0,  log(z)=log(x)  (x:1)z12=(x1)ei2π

C2=1log(x)dx(x1)3/2ei3π=I

C3에서z=xeiπ,  log(z)=log(x)+iπ  (x:0)z1=(1+x)eiπ이므로

C3=0(log(x)+iπ)(eiπdx)(1+x)3/2ei3π/2=ei3π/20(log(x)+iπ)dx(1+x)3/2

C4에서 z=xeiπ,  log(z)=log(x)iπ  (x:0)z1=(1+x)eiπ이므로 C4=0(log(x)iπ)(eiπdx)(1+x)3/2ei3π/2=ei3π/20(log(x)iπ)dx(1+x)3/2

따라서 C3+C4=2πi×ei3π/20dx(1+x)3/2=2π×2(1+x)1/2|0=4π

Residue 정리에 의해서 

2I4π=0    I=2π

 

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