I=∫∞1log(x)dx(x−1)3/2=2π

복소함수 f(z)=log(z)(z−1)3/2을 그림의 경로에서 적분을 하자. 위상은 −π≤arg(z)≤π,0≤arg(z−1)≤2π로 잡는다.
C1에서 z=xei0, log(z)=log(x) (x:1→∞)z−1=(x−1)ei0이므로
∫C1=∫∞1log(x)dx(x−1)3/2=I
C2에서 z=xei0, log(z)=log(x) (x:∞→1)z−12=(x−1)ei2π
∫C2=∫1∞log(x)dx(x−1)3/2ei3π=I
C3에서z=xeiπ, log(z)=log(x)+iπ (x:∞→0)z−1=(1+x)eiπ이므로
∫C3=∫0∞(log(x)+iπ)(eiπdx)(1+x)3/2ei3π/2=e−i3π/2∫∞0(log(x)+iπ)dx(1+x)3/2
C4에서 z=xe−iπ, log(z)=log(x)−iπ (x:0→∞)z−1=(1+x)eiπ이므로 ∫C4=∫∞0(log(x)−iπ)(e−iπdx)(1+x)3/2ei3π/2=−e−i3π/2∫∞0(log(x)−iπ)dx(1+x)3/2
따라서 ∫C3+C4=2πi×e−i3π/2∫∞0dx(1+x)3/2=−2π×−2(1+x)1/2|∞0=−4π
Residue 정리에 의해서
2I−4π=0 → I=2π
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