고무밴드와 기둥 사이의 마찰계수는?

질량 $m$인 고무밴드가 수직으로 서있는 원통기둥에 감겨있다. 감긴 고무밴드에 걸리는 장력은 $T$이다.  이 고무밴드가 아래로 미끄러지지 않기 위해서는 밴드와 원통기둥 사이의 마찰계수는 얼마나 되어야 하는가?

힌트:

밴드가 기둥에 접하는 면적을 $A$라고 하자. 고무줄의 한 미소부분에 작용하는 수평방향으로는 장력과 기둥이 주는 압력이 평형상태에 있다. 

$$\sum  F_\text{horizontal} = 2T\sin \frac {\Delta\theta}{2} - P \Delta A=0$$

$\Delta \theta\to 0$일 때 이 식은

$$ T\Delta \theta = P \Delta A~~~\to ~~~ T (2\pi) = PA~~~\to~~~ P= \frac {2\pi T}{A}$$

로 밴드에 작용하는 압력을 얻는다(virtual work 원리를 이용해도 된다). 밴드의 미소 부분(질량=$m\frac{\Delta A}{A}$)에 작용하는 수직방향도 평형상태이므로

$$ \sum F_\text{vertical} = mg \frac {\Delta A}{A} - f_s=0$$

그런데 정지마찰력이 $ f_s  \le  \mu P \Delta A$이므로 

$$ \mu \ge \frac{mg}{2\pi T}$$